Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5 Numerische Iterationsverfahren
Bemerkung 5.9. Später werden wir mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes verschiedene
Verfahren zur iterativen Lösung von linearen Gleichungssystemen herleiten.
Bemerkung 5.10. Die Konvergenzanalyse der Fixpunktverfahren kann mit Hilfe der bereits
diskutieren Techniken in Kapitel 2.6 durchgeführt werden.
5.2 Fixpunkt-Iterationen zum Lösen von nichtlinearen
Gleichungen
Wir rekapitulieren aus Kapitel 2, dass das klassische Newton-Verfahren in einer Dimension
als Fixpunktiteration aufgefasst werden kann. Die Newton-Iteration gehört zur Klasse der
Fixpunktiterationen mit der Iterationsfunktion
Jeder Fixpunkt z = F (z) ist offenbar eine Nullstelle f(z) = 0.
F (x) := x − f(x)
f ′ (x) . (5.2)
5.2.1 Newton-Verfahren im R n
Aufgrund seiner herausragenden Bedeutung widmen wir dem Newton-Verfahren für höhere
Dimensionen einen eigenen Abschnitt. Die prinzipiellen Aussagen (Existenz, quadratische
Konvergenz, gedämpftes Newton-Verfahren, vereinfachtes Newton-Verfahren) sind
mit dem 1D-Fall vergleichbar.
Es sei f : D ⊂ R n → R n . Zur Lösung von f(x) = (f 1 (x), . . . , f n (x)) = 0 lautet die
Newton-Iteration formal:
x 0 ∈ R n , x k+1 = x k − f ′ (x k ) −1 f(x k ), k = 0, 1, 2, . . . (5.3)
Die Ableitung f ′ (x) : R n → R n×n ist die Jacobi-Matrix von f:
f ′ (x) ij = ∂f i
∂x j
, i, j = 1, . . . , n.
Die Tatsache, dass die Ableitung von f im mehrdimensionalen Fall eine Matrix ist, stellt
den wesentlichen Unterschied zum eindimensionalen Newton-Verfahren dar. Anstelle einer
Ableitung sind nun n 2 Ableitungen zu berechnen. Und anstelle einer Division durch f ′ (x k )
ist in jedem Schritt der Newton-Iteration ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix
f ′ (x k ) ∈ R n×n zu lösen. Wir multiplizieren in (5.3) mit f ′ (x k ) und erhalten
x 0 ∈ R n , f ′ (x k )x k+1 = f ′ (x k )x k − f(x k ), k = 0, 1, 2, . . .
Das Newton-Verfahren wird als Defektkorrektur-Verfahren durchgeführt. So kann in jedem
Schritt der Aufwand einer Matrix-Vektor Multiplikation gespart werden:
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