Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Tauschen von k-ter und i-ter Zeile erfolgt durch Multiplikation mit einer Pivot-Matrix:
⎛
⎞
1
. .. 1
0 0 . . . 0 1
0 1 0
P ki :=
. . .. .
0 1 0
1 0 · · · 0 0
1
⎜
⎟
⎝
⎠
. ..
1
Es gilt p ki
jj = 1 für j ≠ k und j ≠ i sowie pki
= pki ik
Wir fassen einige Eigenschaften von P zusammen:
= 1, alle anderen Elemente sind Null.
Satz 4.26 (Pivot-Matrizen). Es sei P = P kl die Pivot-Matrix mit Pii
kl = 1 für i ≠ k, l
und Pkl kl = Plk kl = 1. Die Anwendung P kl A von links tauscht k-te und l-te Zeile von A, die
Anwendung AP kl von rechts tauscht k-te und l-te Spalte. Es gilt:
P 2 = I ⇔ P −1 = P.
Beweis: Übung.
In Schritt i der LR-Zerlegung suchen wir nun zunächst das Pivot-Element:
□
Algorithmus 4.27 (Pivot-Suche). In Schritt i suche Index k ≥ i, so dass
Bestimme die Pivot-Matrix als P (i) := P ki .
Im Anschluss bestimmen wir A (i) als
|a ki | = max
j≥i |a ji|.
A (i) = F (i) P (i) A (i−1) .
Die Pivotisierung sorgt dafür, dass alle Elemente g (i)
k
= a (i−1)
ki
durch 1 beschränkt sind. Insgesamt erhalten wir die Zerlegung:
/a (i−1)
ii
von F (i) im Betrag
R = A (n−1) = F (n−1) P (n−1) · · · F (1) P (1) A. (4.2)
Die Pivot-Matrizen kommutieren nicht mit A oder den F (i) . Daher ist ein Übergang zur
LR-Zerlegung nicht ohne weitere möglich. Wir definieren:
˜F (i) := P (n−1) · · · P (i+1) F (i) P (i+1) · · · P (n−1) .
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