Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
sind zunächst n − (i + 1) arithmetische Operationen zur Berechnung der g (i)
j für j =
i + 1, . . . , n notwendig. Die Matrix-Matrix Multiplikation betrifft nur alle Elemente a kl
mit k > i sowie l > i. Es gilt:
a (i)
kl
= a (i−1)
kl
+ g (i)
k a(i) ik
, k, l = i + 1, . . . , n.
Hierfür sind (n − (i + 1)) 2 arithmetische Operationen notwendig. Insgesamt summiert sich
der Aufwand in den n − 1 Schritten zu:
n−1 ∑ {
N LR (n) = n − (i + 1) + (n − (i + 1))
2 } n−1 ∑ {
= n 2 − n − i(1 + 2n) + i 2} ,
i=1
i=1
und mit den bekannten Summenformeln folgt:
N LR (n) = (n − 1)n 2 − (n − 1)n −
n(n − 1) (n − 1)n(2n − 1)
(1 + 2n) + = 1 2
6 3 n3 − 2n 2 + 5 3 n.
□
Die LR-Zerlegung kann nun zum Lösen von linearen Gleichungssystemen verwendet werden:
Algorithmus 4.24 (Lösen von linearen Gleichungsystemen mit der LR-Zerlegung). Es
sei A ∈ R n×n eine reguläre Matrix, für welche die LR-Zerlegung existiert.
1. Berechne die LR-Zerlegung A = LR in linke untere und rechte obere Dreiecksmatrix.
2. Löse das Gleichungssystem Ax = b durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen:
(i)
Ly = b
(ii) Rx = y.
Die Vorwärtselimination läuft entsprechend der Rückwärtseinsetzen in Algorithmus 4.20
und gemäß Satz 4.21 benötigt sie O(n 2 ) Operationen. Das eigentliche Lösen eines linearen
Gleichungsystems ist weit weniger aufwendig als das Erstellen der Zerlegung. In vielen
Anwendungsproblemen, etwa bei der Diskretisierung von parabolischen Differentialgleichungen,
müssen sehr viele Gleichungssysteme mit unterschiedlichen rechten Seiten aber
identischen Matrizen hintereinander gelöst werden. Hier bietet es sich an, die Zerlegung
nur einmal zu erstellen und dann wiederholt anzuwenden.
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