Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.5 Numerische Integration
f(x)
f(x)
f(x)
a
b
a
x 0 = a+b
2 b
a
b
Abbildung 3.8: Linksseitige Boxregel, Mittelpunktsregel und Trapezregel zur
Integralapproximation.
3.5.1 Interpolatorische Quadratur
Die interpolatorischen Quadraturformeln werden über die Konstruktion eines geeigneten
Interpolationspolynoms hergeleitet. Zu den gegebenen Stützstellen a ≤ x 0 < . . . < x n ≤ b
wird gemäß Abschnitt 3.1 das Lagrangsche Interpolationspolynom als Approximation der
Funktion f gebildet:
Dieses wird dann integriert:
Die Quadraturgewichte
I (n) (f) :=
p n (x) =
∫ b
a
n∑
i=0
p n (x) dx =
α i =
∫ b
a
f(x i )L (n)
i (x).
n∑
i=0
∫ b
f(x i ) L (n)
i (x) dx
a
} {{ }
=α i
.
L (n)
i (x) dx (3.14)
hängen offensichtlich nicht von der zu integrierenden Funktion f(x) ab, dafür vom Intervall
[a, b] sowie von den Stützstellen x 0 , . . . , x n . Dies impliziert die Frage, ob durch
geschickte Verteilung der Stützstellen die Qualität der Gewichte verbessert werden kann.
(Als Vorwegnahme auf den nach-nachfolgenden Abschnitt kann diese Frage in der Tag mit
Ja beantwortet werden).
Bevor wir einzelne Quadratur-Formeln analysieren und nach möglichst leistungsfähigen
Formeln suchen, können wir zunächst ein einfaches aber doch allgemeines Resultat herleiten:
Satz 3.39 (Lagrange-Quadratur). Für die interpolatorischen Quadraturformeln I n (f) mit
n + 1 paarweise verschiedenen Stützstellen x 0 , x 1 , . . . , x n gilt zur Approximation des Integrals
I(f) = ∫ b
a
f(x) dx die Fehlerdarstellung
mit Newtonscher Restglieddarstellung.
∫ b
n∏
I(f) − I n (f) = f[x 0 , . . . , x n , x] (x − x j ) dx,
a
j=0
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