Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

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Inhaltsverzeichnis 4.2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.1 Störungstheorie & Stabilitätsanalyse von linearen Gleichungssystemen117 4.2.2 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren und die LR-Zerlegung . . . . . 120 4.2.3 LR-Zerlegung für diagonaldominante Matrizen . . . . . . . . . . . . 131 4.2.4 Die Cholesky-Zerlegung für positiv definite Matrizen . . . . . . . . . 132 4.2.5 Dünn besetzte Matrizen und Bandmatrizen . . . . . . . . . . . . . . 134 4.3 Nachiteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . 145 4.4.1 Das Gram-Schmidt Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.4.2 Householder-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.4.3 Givens-Rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß’sche Ausgleichrechnung . . . . . . 158 4.6 Berechnung von Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.6.1 Konditionierung der Eigenwertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.6.2 Direkte Methode zur Eigenwertberechnung . . . . . . . . . . . . . . 168 4.6.3 Iterative Verfahren zur Eigenwertberechnung . . . . . . . . . . . . . 169 4.6.4 Das QR-Verfahren zur Eigenwertberechnung . . . . . . . . . . . . . 174 4.6.5 Reduktionsmethoden zur Eigenwertbestimmung . . . . . . . . . . . . 176 5 Numerische Iterationsverfahren 181 5.1 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.2 Fixpunkt-Iterationen zum Lösen von nichtlinearen Gleichungen . . . . . . . 186 5.2.1 Newton-Verfahren im R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.2.2 Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.2.3 Vereinfachtes und gedämpftes Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . 192 5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . 195 5.3.1 Konstruktion von Fixpunktverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.3.2 Konvergenzkriterium für Jacobi- und Gauß-Seidel-Iteration . . . . . 199 5.3.3 Relaxationsverfahren: das SOR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.3.4 Praktische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.3.5 Abstiegs & Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6 Anwendungsbeispiel: dünner Balken 221 6.1 Modellierung eines elastischen Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.2 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.2.1 Diskretes Modell mit globaler Interpolation . . . . . . . . . . . . . . 225 6.2.2 Diskretes Modell mit stückweiser Interpolation . . . . . . . . . . . . 225 6.2.3 Vergleich und Diskussion der beiden Modelle . . . . . . . . . . . . . 226 6.3 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.4 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6.4.1 Globaler Polynomansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6.4.2 Stückweiser Polynomansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.4.3 Analyse und Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 ii
Literaturverzeichnis [1] Jörg Bewersdorff. Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois- Theorie. Wiesbaden, 2004. [2] J.F. Epperson. An introduction to numerical methods and analysis. John Wiley & Sons, 2007. [3] J. Douglas Faires and Richard L. Burdon. Numerische Methoden. Spektrum Akademischer Verlag, 1994. [4] A. Grama, A. Gupta, G. Karypis, and V. Kumar. Introduction to Parallel Computing. Addison-Wesley, 2003. 2nd edition. [5] G. Hämmerlin and K.-H. Hoffmann. Numerische Mathematik. Springer Verlag, 1992. [6] M. Hanke-Bourgeois. Grundlagen der numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. Vieweg-Teubner Verlag, 2009. [7] IEEE. IEEE 754-2008: Standard for floating-point arithmetic. Technical report, IEEE Standards Association, 2008. doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. [8] Rainer Kress. Numerical Analysis. Springer Verlag, 1998. [9] R. Rannacher. Einführung in die numerische mathematik. Technical report, Universität Heidelberg, 2006. http://numerik.uni-hd.de/˜lehre/notes. [10] R. Rannacher. Numerik partieller Differentialgleichungen. Technical report, Universität Heidelberg, 2008. http://numerik.uni-hd.de/˜lehre/notes. [11] R. Rannacher. Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Technical report, Universität Heidelberg, 2011. http://numerik.uni-hd.de/˜lehre/notes. [12] T. Richter. Numerik partieller Differentialgleichungen. Technical report, Universität Heidelberg, 2011. http://numerik.uni-hd.de/˜richter/teaching.shtml. [13] H. R. Schwarz and N. Köckler. Numerische Mathematik. Vieweg-Teubner Verlag, 2011. [14] Dirk Werner. Funktionalanalysis. Springer, 2004. iii
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