Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme
Für eine symmetrisch positiv definite Matrix A ist die LR-Zerlegung immer ohne Pivotisierung
durchführbar. Dabei treten nur positive Pivot-Elemente a (i−1)
ii auf. Das heißt, die
Matrix R hat nur positive Diagonalelemente r ii > 0. Es sei D ∈ R n×n die Diagonalmatrix
mit d ii = r ii > 0. Dann gilt:
A = LR = LD ˜R,
mit einer rechten oberen Dreiecksmatrix ˜R, welche nur Einsen auf der Diagonalen hat. Da
A symmetrisch ist folgt:
A = LR = LD ˜R = ˜R T DL T = A T .
Aufgrund der Eindeutigkeit der LR-Zerlegung gilt L = ˜R T und R = DL T . Da D nur
positive Diagonaleinträge hat existiert die Matrix √ D und wir schreiben:
Wir fassen zusammen:
A = LR = LD 1 2
} {{ } D − 1 2
} {{ R }
=: ˜L
= ˜L T .
Satz 4.34 (Cholesky-Zerlegung). Es sei A ∈ R n×n eine symmetrisch, positiv definite
Matrix. Dann existiert die Cholesky-Zerlegung:
A = ˜L˜L T ,
in eine untere linke Dreiecksmatrix ˜L. Sie kann ohne Pivotierung in
n 3
6 + O(n2 )
arithmetische Operationen durchgeführt werden.
Anstelle eines Beweises geben wir einen effizienten Algorithmus zur direkten Berechnung
der Cholesky-Zerlegung an. Hier kann der notwendige Aufwand leicht abgelesen werden:
Algorithmus 4.35 (Direkte Berechnung der Cholesky-Zerlegung). Gegeben sei eine symmetrisch,
positiv definite Matrix A ∈ R n×n . Dann sind die Einträge l ij , j ≤ i der Cholesky-
Zerlegung bestimmt durch die Vorschrift:
j = 1, . . . , n :
(i) l 11 = √ j−1 ∑
a 11 , bzw. l jj = √ ajj −
(ii)
l ij = l −1
jj
⎛
j−1 ∑
⎝a ij −
k=1
ljk
2
k=1
l ik l jk
⎞
⎠ , i = j + 1, . . . , n.
Der Algorithmus kann iterativ aus der Beziehung ˜L˜L T = A hergeleitet werden. Es gilt:
a ij =
min{i,j}
∑
k=1
l ik l jk .
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