Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.5 Numerische Integration
Auf einer gleichmäßigen Zerlegung des Intervalls [a, b] in N Teilintervalle mit Schrittweite
h = 1/N ist die summierte Trapezregel zur Approximation von ∫ b
a
f dx gegeben durch:
⎛
⎞
I h (f) = h ⎝ 1 N−1
2 f(a) + ∑
f(x j ) + 1 2 f(b) ⎠ , x j := a + jh,
j=1
und liefert im Falle f ∈ C 2 ([a, b]) die Fehlerabschätzung:
I(f) − I h (f) = b − a
12 h2 f (2) (ξ),
mit einer Zwischenstelle ξ ∈ [a, b]. Um die Extrapolationsmethode erfolgreich anwenden
zu können brauchen wir Kenntnis über die weitere Fehlerentwicklung der Trapezregel. Die
Basis hierzu ist die Euler-Maclaurinsche Summenformel wurde, die eine Entwicklung des
Fehlers in geraden Potenzen von h zeigt:
Satz 3.73 (Euler-Maclaurinsche Summenformel). Falls f 2m+2 [a, b], dann gilt die Euler-
Maclaurinsche Summenformel
I(f) − I h (f) =
m∑
k=1
h 2k B (
)
2k
f (2k−1) (b) − f (2k−1) (a) + h 2m+2 b − a
(2k)!
(2m − 2)! B 2m+2f (2m+2) (ξ),
mit ξ ∈ [a, b] und den Bernoulli-Zahlen B 2k .
Beweis: Seminarthema!
□
Die Bernoulli-Zahlen sind definiert als die Koeffizienten der Taylorreihendarstellung von
x
∞
e x − 1 = ∑
k=0
und genügen der Rekursionsformel
B k
k! xk = 1 − 1 2 x + 1 x 2
6 2! − 1 x 4
30 4! + 1 x 6
42 6! + . . . ,
B 0 = 0,
k−1 ∑ k!
B k = −
j!(k − j + 1)! B j, k = 1, 2, . . . .
j=0
Die ersten Bernoulli-Zahlen sind gegeben als:
1, − 1 2 , 1 6 , 0, − 1
30 , 0, 1 42 , 0, − 1
30 , . . . .
Ausgenommen B 1 = − 1 2 gilt für jede zweite (ungerader Index) Bernoulli-Zahl B 2k+1 = 0.
Ansonsten folgen sie keinem erkennbaren Gesetz Für große k wachsen die Bernoulli-Zahlen
sehr schnell an und verhalten sich asymptotisch wie
|B 2k | ∼ 2(2k)!(2π) −2k , k → ∞.
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