Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.2 Spline Interpolation
Zur eindeutigen Bestimmung eines kubischen Polynoms sind in jedem I i vier Bedingungen
notwendig, so dass zwei zusätzliche Interpolationspunkte vorgegeben werden:
p(x ij ) = f(x ij ),
wobei x ij ∈ I i , i = 1, . . . , j = 1, 2. Durch diese stückweise kubische Lagrange-Interpolation
ist eindeutig ein global stetiger Spline p ∈ S (3,0)
h
[a, b] festgelegt.
Anstatt die Interpolationsbedingung durch Zwischenwerte x ij ∈ (x i−1 , x i ) anzureichern ist
es auch möglich Ableitungswerte vorzugeben:
Beispiel 3.22 (Stückweise kubische Hermite-Interpolation). Es sei wiederum auf jedem
Teilintervall I i ein kubisches Polynom vorgeschrieben, d.h. k = 3 und dieses Mal mit
r = 1, so dass S (3,1)
h
[a, b]. Die Interpolationsbedingungen für den Fall r = 1 (d.h. globale
Stetigkeit und einmalige globale Differenzierbarkeit) lauten
p(x i ) = f(x i ), p ′ (x i ) = f ′ (x i )
Durch diese vier Bedingungen p ∈ S (3,1)
h
[a, b] eindeutig festgelegt.
Bemerkung 3.23. Nutzt man zusätzlich zu den Punktwerten die Ableitungsinformation in
den Stützstellen zur Konstruktion einer Interpolierenden, so wie in Beispiel 3.2 geschehen,
dann spricht man von Hermite-Interpolation. Diese Interpolationsaufgabe kann für globale
und lokale Interpolationen genutzt werden, siehe Satz 3.16
Satz 3.24. Für den kubischen Spline p (d.h. k = 3) mit r = 0 oder r = 1 zur Approximation
der Funktion f gilt die globale Fehlerabschätzung
max |f(x) − p(x)| ≤ 1
x∈[a,b] 4! h4 max |f (4) (x)|.
x∈[a,b]
Zur eindeutigen Bestimmung einer stückweise kubischen Funktion sind auf jedem Intervall
I i vier Bedingungen erforderlich. Dennoch unterscheiden sich die Sätze an Bedingungen in
den beiden betrachteten Beispielen. Bei der stückweise kubischen Lagrange Interpolation
in Beispiel werden in den n Intervallen jeweils vier Bedingungen p(x ij ) = f(x ij ) gestellt,
wobei an den Intervallenden x i die gleiche Interpolationsbedingung doppelt auftaucht.
Insgesamt ist die stückweise kubische Lagrange Interpolation durch 3n + 1 Bedingungen
gegeben. Die stückweise Hermite Interpolation in Beispiel hat auch vier Bedingungen pro
Intervall. An den Intervallenden treten nun jedoch 2 Bedingungen doppelt auf, so dass
sich global 2n + 2 Bedingungen ergeben.
Soll die globale Regularität der Interpolation weiter gesteigert werden, so schlägt der
triviale Ansatz zusätzlich p ′′ (x i ) = f ′′ (x i ) zu fordern fehl, da dies zu sechs Bedingungen
pro Teilintervall führen würde (bei nur vier Unbekannten von eines kubischen Polynoms).
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