Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2.4 Das Newton-Verfahren in 1D
2.4 Das Newton-Verfahren in 1D
Das Newtonverfahren ist eines der wichtigsten numerischen Verfahren zur Nullstellenbestimmung.
Es ist nicht nur auf den Fall R d mit d > 1 erweiterbar, sondern wird auch
zur Lösung von Differentialgleichungen häufig genutzt, wobei die Differentialgleichungsaufgabe
wiederum in Form eines Nullstellenproblems formuliert wird (siehe weiterführende
Literatur [11, 10, 12] und enthaltene Literaturverweise).
Es sei f ∈ C 1 [a, b]. Falls die erste Ableitung f ′ (x) ohne große Probleme berechenbar ist
(für 1D Probleme ist das gewöhnlich der Fall, allerdings kann das bei mehrdimensionalen
Problemstellungen schwieriger werden - trotzdem oft auch noch möglich), dann stellt das
Newton-Verfahren eine sehr effiziente Methodik zur Berechnung einer Nullstelle dar. Das
Newton-Verfahren hat viele Ableger - es gibt nicht das eine einzige Newton-Verfahren.
Das klassische Newton-Verfahren (auch Newton-Raphson-Verfahren genannt) ist durch
folgende Überlegung motiviert. Die Funktion f wird im Näherungswert x k linearisiert und
der iterierte Wert x k+1 als Abzisse des Schnittpunktes der Tangente (an f) mit der x-Achse
definiert.
2.4.1 Das klassische Newton-Verfahren
Verfahren 2.9 (Newton-Verfahren). Es sei f ∈ C 1 [a, b] und x 0 ∈ [a, b] ein geeigneter
Startwert. Die Tangente an f ist durch
t(x) = f(x k ) + (x − x k )f ′ (x k ), k = 0, 1, 2, . . . ,
gegeben. Dann ist die Nullstelle x k+1 bestimmt durch
x k+1 = x k − f(x k)
f ′ , k = 0, 1, 2, . . . . (2.2)
(x k )
Die Iteration wird bei Erfüllung des Abbruchkriteriums 2.11 beendet.
Diese Iteration ist möglich, solange f ′ (x k ) ≠ 0.
Die Iteration 2.2 gehört (wie in der Motivation bereits erwähnt) zur Klasse der Fixpunktiterationen
mit der Iterationsfunktion
Für einen Fixpunkt ˆx = F (ˆx) gilt offenbar f(ˆx) = 0.
Als Hauptresultat des Abschnitts zeigen wir
F (x) := x − f(x)
f ′ (x) . (2.3)
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