Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung
a 1 − ‖a 1‖e 1 a 1
v − = a 1 − ‖a 1‖e 1
v + = a 1 + ‖a 1‖e 1
−‖a 1‖ 2e 1 ‖a 1‖ 2e 1
a 1 + ‖a 1‖e 1
Abbildung 4.2: Spiegelungsachsen (gestrichelt) und Normalen zur Spiegelung v + und v −
zur Spiegelung von a 1 auf span{e 1 }.
Mit Hilfe der Householder-Transformationen soll eine Matrix A ∈ R n×n nun Schritt für
Schritt in eine rechte obere Dreiecksmatrix transformiert werden:
A (0) := A, A (i) = S (i) A (i−1) , S (i) = I − 2v (i) (v (i) ) T ,
mit R := A (n−1) . Wir beschreiben den ersten Schritt des Verfahrens: die reguläre Matrix
A ∈ R n×n soll durch Multiplikation mit einer orthogonalen Householder-Transformation so
transformiert werden A (1) = S (1) A, dass a (1)
i1 = 0 für alle i > 1 unterhalb der ersten Diagonale.
Hierzu schreiben wir die Matrix A = (a 1 , a 2 , . . . , a n ) mit ihren Spaltenvektoren. Dann
ist A (1) = (a (1)
1 , . . . , a(1) n ) mit a (1)
i = S (1) a i . Wir suchen die Householder-Transformation
S (1) , so dass:
!
e 1 = a (1)
1 = S (1) a 1 .
Hierzu müssen wir auf der Ebene senkrecht zu a 1 ± ‖a 1 ‖e 1 spiegeln, siehe Abbildung 4.2.
Wir wählen
v := a 1 + sign(a 11 )‖a 1 ‖e
∥
1
∥
∥a 1 + sign(a 11 )‖a 1 ‖e 1 , (4.7)
um durch optimale Wahl des Vorzeichens die Gefahr von Auslöschung zu vermeiden. Mit
dieser Wahl gilt:
a (1)
i = S (1) a i = a i − 2(v, a i )v, i = 2, . . . , n, a (1)
1 = − sign(a 11 )‖a 1 ‖e 1 . (4.8)
Die resultierende Matrix Ã(1) ist wieder regulär und es gilt ã (1)
1 ∈ span(e 1 ):
⎛
⎞
a 11 a 12 a 13 · · · a 1n
. a 21 a .. 22 .
A :=
. a 31 a .. . .. 32 .
⎜
.
⎝ .
.. ⎟ . ⎠
a n1 a n2 · · · · · · a nn
⎛
⎞
a (1)
11 a (1)
12 a (1)
13 · · · a (1)
1n
0 a (1) . ..
22
.
→ A (1) := S (1) A =
0 a (1) . .. . .. 32
.
.
⎜
. ⎟
⎝ .
.. . ⎠
0 a (1)
n2 · · · · · · a (1)
nn
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