Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
Nach dieser Definition sind die beiden Quadraturregeln aus dem vorherigen Beispiel Gauß’sche
Quadraturformeln. Wir wollen im Folgenden die Existenz von Gauß’schen Quadraturregeln
mit allgemeiner Ordnung, also für beliebige Stützstellenzahl n ∈ N untersuchen.
Zunächst weisen wir nach, dass die Stützstellen der Gauß-Quadratur stets Nullstellen von
orthogonalen Polynomen sein müssen:
Satz 3.56. Es seien x 0 , . . . , x n paarweise verschiedene Quadratur-Stützstellen einer Gauß-
Quadraturformel I n (·). Dann gilt die Orthogonalitätsbeziehung
∫ 1
−1
p n+1 (x)q(x) dx = 0 ∀q ∈ P n , p n+1 (x) := (x − x 0 ) · · · (x − x n ).
Beweis: Das Polynom p n+1 q ∈ P 2n+1 wird von der Gauß-Regel exakt integriert. Aus
p n+1 (x k ) = 0 folgt:
∫ 1
−1
p n+1 (x)q(x) dx =
n∑
a k p n+1 (x k )q(x k ) = 0 ∀q ∈ P n .
k=0
Dies ist gerade die Orthogonalitätsbeziehung.
□
Falls eine interpolatorische Quadratur-Formel also die Gauß-Ordnung 2n + 2 besitzt, so
müssen die Stützstellen die Nullstellen eines orthogonalen Polynoms p n+1 ∈ P n+1 sein.
Es bleibt, die Rückrichtung zu zeigen, dass also durch die Nullstellen von orthogonalen
Polynomen auch immer Gauß-Regeln gegeben sind:
Satz 3.57. Es seien x 0 , . . . , x n paarweise verschiedene Quadratur-Stützstellen. Das Polynom
n∏
p n+1 (x) = (x − x j ),
sei L 2 ([−1, 1])-orthogonal auf allen Polynomen q ∈ P n . Dann ist durch
j=0
n∑
∫ 1 n∏
IG(f) n x − x j
= α k f(x k ), α k =
dx,
k=0
−1 x
j=0,j≠k k − x j
eine Gauß-Quadraturformel I n (f) zur Integration einer Funktion f : [a, b] → R gegeben.
Beweis: Zu gegebener Funktion f ∈ C 2n+2 ([−1, 1]) sei p n ∈ P n das Interpolationspolynom
durch die Stützstellen x 0 , . . . , x n und p 2n+1 ein Interpolationspolynom durch die
Stützstellen x 0 , . . . , x n sowie durch weitere (verschiedene) Stützstellen x n+1 , . . . , x 2n+1 .
Durch Integration dieses p 2n+1 ist eine Quadraturformel der Ordnung 2n + 2 gegeben. Es
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