Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

Inhaltsverzeichnis
4.2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.1 Störungstheorie & Stabilitätsanalyse von linearen Gleichungssystemen117
4.2.2 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren und die LR-Zerlegung . . . . . 120
4.2.3 LR-Zerlegung für diagonaldominante Matrizen . . . . . . . . . . . . 131
4.2.4 Die Cholesky-Zerlegung für positiv definite Matrizen . . . . . . . . . 132
4.2.5 Dünn besetzte Matrizen und Bandmatrizen . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3 Nachiteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . 145
4.4.1 Das Gram-Schmidt Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4.2 Householder-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.4.3 Givens-Rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß’sche Ausgleichrechnung . . . . . . 158
4.6 Berechnung von Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.6.1 Konditionierung der Eigenwertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.6.2 Direkte Methode zur Eigenwertberechnung . . . . . . . . . . . . . . 168
4.6.3 Iterative Verfahren zur Eigenwertberechnung . . . . . . . . . . . . . 169
4.6.4 Das QR-Verfahren zur Eigenwertberechnung . . . . . . . . . . . . . 174
4.6.5 Reduktionsmethoden zur Eigenwertbestimmung . . . . . . . . . . . . 176
5 Numerische Iterationsverfahren 181
5.1 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.2 Fixpunkt-Iterationen zum Lösen von nichtlinearen Gleichungen . . . . . . . 186
5.2.1 Newton-Verfahren im R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.2.2 Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.2.3 Vereinfachtes und gedämpftes Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . 192
5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . 195
5.3.1 Konstruktion von Fixpunktverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3.2 Konvergenzkriterium für Jacobi- und Gauß-Seidel-Iteration . . . . . 199
5.3.3 Relaxationsverfahren: das SOR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3.4 Praktische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.3.5 Abstiegs & Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6 Anwendungsbeispiel: dünner Balken 221
6.1 Modellierung eines elastischen Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.2 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.2.1 Diskretes Modell mit globaler Interpolation . . . . . . . . . . . . . . 225
6.2.2 Diskretes Modell mit stückweiser Interpolation . . . . . . . . . . . . 225
6.2.3 Vergleich und Diskussion der beiden Modelle . . . . . . . . . . . . . 226
6.3 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.4 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.4.1 Globaler Polynomansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.4.2 Stückweiser Polynomansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.4.3 Analyse und Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
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