Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

6 Anwendungsbeispiel: dünner Balken
werden. Die Lösung y ∈ C 2 ([0, 1]) ist ein unendlich dimensionales Objekt und kann mit
diskreten Methoden nie komplett beschrieben werden. Daher müssen wir in einem ersten
Schritt das Problem diskretisieren, also in ein endlich dimensionales Problem überführen.
Der übliche Zugang hierzu ist, die Funktion y ∈ C 2 ([0, 1]) durch eine Interpolierende y h (x)
zu ersetzen. Hierzu zerlegen wir das Intervall I = [0, 1] zunächst in n + 1 diskrete Punkte
0 = x 0 < x 1 < · · · < x n = 1, h = x i − x i−1 = 1 n , x i = ih.
Wir wählen die Zerlegung äquidistant, d.h., je zwei benachbarte Punkte haben den Abstand
h. Zur Interpolation der Funktion y(x) in den Stützstellen y i := y(x i ) wählen wir
zwei verschiedene Zugänge aus Kapitel 3. Zunächst wählen wir die globale Lagrange-
Interpolation:
y n ∈ P n (I) = span{1, x, . . . , x n }.
Zu gegebenen Stützstellenpaaren (x i , y(x i )) ist diese Interpolation stets eindeutig bestimmt,
siehe Satz 3.6. Wir wählen die Lagrange-Darstellung:
n∑
n∏
y n (x) = y i L (n)
i (x), L (n)
x − x j
i (x) =
. (6.5)
x i − x j
i=0
j=1,j≠i
Alternativ setzen wir y h (x) als stückweise lineare Interpolierende zusammen:
y h (x) ∣ = x − x i
y i−1 + x − x i−1
y i . (6.6)
[xi−1 ,x i ] x i−1 − x i x i − x i−1
Im Falle einer hinreichend regulären Lösung y(x) gelten bei exakter Interpolation (d.h.
falls y i = y(x i ) exakt bekannt sind) die Abschätzungen
‖y n − y‖ ∞ ≤ ‖y(n+1) ‖ ∞
, ‖y h − y‖ ∞ ≤ h2
(n + 1)!
2 ‖y′′ ‖ ∞ , (6.7)
siehe Satz 3.4 sowie (3.6). Bei der ersten Abschätzung haben wir wegen |x − x j | ≤ 1 ganz
grob abgeschätzt mit:
n∏
|x − x i | ≤ 1.
i=0
Diese Abschätzung ist sehr pessimistisch, da die meisten Faktoren |x − x j | ≪ 1 sehr viel
kleiner als eins sind.
Die Diskretisierung der Aufgabe besteht nun darin, die Klasse der möglichen Lösungen
zu verringern. Anstelle eines y ∈ C 2 ([0, 1]) lassen wir nur noch Polynome gemäß (6.5)
bzw. (6.6) zu. Das unendlich-dimensionale Problem wird durch ein endlich-dimensionales
Problem ersetzt. Die beiden diskreten Funktionen haben jeweils n+1 Freiheiten, von denen
die Randpunkte y 0 = y n = 1 bereits bestimmt sind. Diese n + 1 Freiheitsgrade werden
durch n + 1 Gleichungen in den Stützstellen beschrieben:
y n (0) = 0,
y n′′ (x i )
(1 + y n′ (x i ) 2 ) 3 2
= µf(x i ), i = 1, . . . , n − 1, y n (1) = 0.
Das Ergebnis ist ein nichtlineares Gleichungssystem mit n + 1 Gleichungen und den n + 1
unbekannten Koeffizienten y 0 , . . . , y n .
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