Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5 Numerische Iterationsverfahren
als Fixpunkt gegeben ist. Die Konvergenz von allgemeinen (auch linearen) Fixpunktiterationen
kann leicht mit dem Banachschen Fixpunktsatz untersucht werden. Hierzu ist die
Kontraktionseigenschaft nachzuweisen:
‖g(x) − g(y)‖ ≤ ‖B‖ ‖x − y‖.
Es ergibt sich jedoch das Dilemma, das je nach verwendeter Matrixnorm ‖ · ‖ unterschiedliche
Konvergenzresultate vorhergesagt werden. Für eine Matrix B ∈ R n×n kann etwa
‖B‖ 2 < 1 aber ‖B‖ ∞ > 1 gelten. Diese Beobachtung steht im Widerspruch zur Normäquivalenz
im R n welche insbesondere eine Äquivalenz von Konvergenzausdrücken besagt.
Um uns in der Analyse von konkreten Matrixnormen zu befreien beweisen wir zunächst
einen Hilfsatz:
Hilfsatz 5.20 (Matrixnorm und Spektralradius). Zu jeder beliebigen Matrix B ∈ R n×n
und zu jedem ɛ > 0 existiert eine natürliche Matrixnorm ‖ · ‖ ɛ , so dass gilt:
spr(B) ≤ ‖B‖ ɛ ≤ spr(B) + ɛ.
Beweis: Für den allgemeinen Fall verweisen wir auf [9]. Hier machen wir uns nur klar,
dass die Aussage für symmetrische Matrizen gilt. Denn in diesem Fall, siehe Satz 4.14 gilt
sogar spr(B) = ‖B‖ 2 .
□
Mit diesem Hilfsatz zeigen wir das fundamentale Resultat über allgemeine lineare Fixpunktiterationen:
Satz 5.21 (Fixpunktverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme). Die Iteration
(5.11) konvergiert für jeden Startwert x 0 ∈ R n genau dann gegen die Lösung x ∈ R n
von Ax = b falls ρ := spr(B) < 1. Dann gilt das asymptotische Konvergenzverhalten
lim sup
k→∞
(
‖x k ) 1/k
− x‖
‖x 0 = spr(B).
− x‖
Beweis: Wir führen den Beweis in drei Schritten. Zunächst (i) gehen wir davon aus, dass
spr(B) < 1 und zeigen, dass x k → x. In Schritt (ii) zeigen wir die Rückrichtung und
schließlich in Schritt (iii) die Konvergenzaussage.
(0) Zunächst weisen wir nach, dass die Iteration überhaupt eine Fixpunktiteration ist. Für
die Lösung x ∈ R n von Ax = b gilt:
Bx + c = (I − CA)x + Cb = x − C (Ax − b) = x.
} {{ }
=0
Eine Konvergenzaussage erhalten wir jetzt sofort über den Fixpunktsatz von Banach.
Weiter definieren den Fehler e k := x k − x und erhalten bei Ausnutzen der Fixpunkteigenschaft
x = Bx + c die Iterationsvorschrift:
e k = x k − x = Bx k−1 + c − (Bx + c) = Be k−1 .
196