Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5 Numerische Iterationsverfahren
Beweis: Den Beweis stellen wir als Übungsaufgabe.
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Korollar 5.15. Korollar 5.14 stellt den Zusammenhang zu dem ein-dimensionalen Resultat
her: Dazu sei z ∈ G eine Nullstelle von f und ‖ · ‖ ∞ die Maximumsnorm. Damit
können die Konstanten
m = 1 β , M = γ
bestimmt werden. Dann kann gilt zusätzlich zur a priori Fehlerabschätzung, die a posteriori
Schranke:
‖x k − z‖ ∞ ≤ 1 m ‖f(xk )‖ ∞ ≤ M 2m ‖xk − x k−1 ‖ 2 ∞, k = 1, 2, . . . .
Beispiel 5.16. Newton im R n Wir suchen die Nullstelle der Funktion
mit der Jacobi-Matrix
(
)
1 − x
f(x 1 , x 2 ) =
2 − y 2
,
(x − 2y)/(1/2 + y)
f ′ (x) =
Die Nullstellen von f ist gegeben durch:
(
−2x −2y
)
2
1+2y
− 4+4x .
(1+2y) 2
x ≈ ±(0.894427, 0.447214).
Wir starten die Iteration mit x 0 = (1, 1) T und erhalten die Iterierten:
x 1 ≈
( ) ( )
1.14286
, x 2 0.92659
≈
, x 3 ≈
0.357143
0.442063
Nach nur vier Iterationen sind die ersten sechs Stellen exakt.
( )
0.894935
, x 4 ≈
0.447349
( )
0.894427
.
0.447214
5.2.3 Vereinfachtes und gedämpftes Newton-Verfahren
Analog zum ein-dimensionalen Fall können wir auch im R n das vereinfachte und das
gedämpfte Newton-Verfahren formulieren. Diese Verallgemeinerungen dienen im Wesentlichen
wieder zwei Zwecken:
• Durch festhalten der Inversen f ′ (c) −1 in einem Punkt c ∈ R n kann in jedem folgenden
Newton-Schritt ein lineares Gleichungssystem mit derselben Matrix gelöst werden.
• Durch Einfügen eines Dämpfungsparameters kann der Einzugsbereich des Newton-
Verfahrens vergrößert werden (Globalisierung).
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