Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

Inhaltsverzeichnis
Literaturverzeichnis
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1 Einleitung 1
1.1 Konditionierung von numerischen Problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Rundungsfehleranalyse und Stabilität von numerischer Algorithmen . . . . 15
2 Nullstellenbestimmung 19
2.1 Motivation und Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Stabilität und Kondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Das Newton-Verfahren in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Das klassische Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Das Newton-Verfahren als Defekt-Korrektur . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3 Das vereinfachte Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.4 Das gedämpfte Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Weitere Verfahren zur Nullstellensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Konvergenzbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7 Vier Verfahren im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Interpolation und Approximation 47
3.1 Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Lagrangesche Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2 Newtonsche Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.3 Interpolation von Funktionen und Fehlerabschätzungen . . . . . . . 54
3.2 Spline Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Numerische Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Richardson Extrapolation zum Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.1 Interpolatorische Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.2 Stückweise interpolatorische Quadraturformeln . . . . . . . . . . . . 77
3.5.3 Gauß-Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.4 Romberg-Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6 Approximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.6.1 Gauss-Approximation: Beste Approximation in der L 2 -Norm . . . . 99
4 Numerische Lineare Algebra 109
4.1 Grundlagen der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
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