Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
erhalten wir mit y = arccos x eine zweistufige Rekursionsformel:
T n+1 (x) + T n−1 (x) = 2xT n (x) ⇒ T n+1 (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x).
Hieraus schließen wir induktiv T n ∈ P n mit
T n (x) = 2 n−1 x n + . . . .
(ii) Wir weisen nun die Orthogonalität der Tschebyscheff-Polynome bzgl. des gewichteten
Skalarprodukts auf [−1, 1] nach. Mit x = cos(t) gilt unter Ausnutzung der Orthogonalität
trigonometrischer Polynome:
∫ 1
−1
T n (x)T m (x)
√
1 − x 2
dx =
∫ π
0
⎧
⎪⎨ π, n = m = 0,
cos(nt) cos(mt) dt =
π
2
⎪⎩
, n = m > 0,
0, n ≠ m.
(iii) Die Nullstellen der Tschebyscheff-Polynome können elementar berechnet werden. Diese
Nullstellen sind die Stützstellen der entsprechenden Quadratur.
□
Zum Aufstellen von konkreten Gauß-Tschebyscheff-Quadraturformeln benötigen wir noch
die entsprechenden Quadraturgewichte. Da die Tschebyscheff-Polynome gewichtet mit ω
exakt integriert werden müssen gilt:
Es folgt:
n−1 ∑
k=0
n−1 ∑
k=0
a k T m (x k ) =
a k cos
∫ 1
−1
T m (x)
√ dx, m = 0, . . . , n − 1.
1 − x 2
{
(2k + 1)m π, m = 0,
π =
2n 0, m = 1, . . . , n − 1.
Mit Hilfe von trignometrischen Argumenten (siehe [8]) erhalten wir die Lösung des linearen
Gleichungssystems:
a k = π , k = 0, . . . , n − 1. (3.18)
n
Damit haben wir alle Komponenten gesammelt, um die Gauß-Tschebyscheff Formel inklusive
Restglied anzugeben:
Verfahren 3.68 (Gauß-Tschebyscheff-Formel). Die Gauß-Tschebyscheff-Formel vom
Grad 2n mit Restglied lautet
∫ 1
mit ξ ∈ [−1, 1].
−1
f(x)
√ dx = π n−1 ∑
f
1 − x 2 n
k=0
(
cos 2k + 1
2n π )
+
π
2 2n−1 (2n)! f (2n) (ξ)
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