Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

6 Anwendungsbeispiel: dünner Balken
Die Lösung y n=4 ist gegeben als:
⎛ ⎞
0
0.5373
y n=4 ≈
0.8457
,
⎜ ⎟
⎝0.5473⎠
0
und ist mit folgendem relativen Fehler versehen:
‖y − y n=4 ‖ ∞
‖y‖ ∞
≈ 0.17.
• Schritt 6: wir fahren mit n = 8 fort:
‖F 8 (y 5 )‖ 2 ≈ 5 · 10 −4 ,
• Schritt 7: für n = 8:
mit der Approximation:
mit einem Fehler:
‖F 8 (y 6 )‖ 2 ≈ 10 −10 ,
⎛ ⎞
0
0.320
0.604
y n=8 0.808
=
0.885
,
0.808
0.604
⎜ ⎟
⎝0.320⎠
0
‖y − y n=8 ‖ ∞
‖y‖ ∞
≈ 0.11.
Da der Fehler bei der zweiten Approximation n = 8 immer noch sehr groß ist, bestimmen
wir - ohne die Zwischenschritte anzugeben - weitere Approximationen. Hier zeigt sich
quadratische Konvergenz in h:
n ‖y n − y‖ ∞ /‖y‖ ∞ ‖y h − y‖ ∞ /‖y‖ ∞
4 2.5 · 10 −3 2 · 10 −1
8 5 · 10 −6 1 · 10 −1
16 2 · 10 −2
32 5 · 10 −3
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