Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
h
1
f( 1 2 +h)−f( 1 2 )
h
f( 1 2 +h)−f( 1 2 −h)
2h
f( 1 2 +2h)−f( 1 2 +h)+f( 1 2 )
h 2
f( 1 2 +h)−2f( 1 2 )+f( 1 2 −h)
h 2
2
0.598954 0.761594 −0.623692 −0.650561
1
4
0.692127 0.780461 −0.745385 −0.706667
1
8
0.739861 0.784969 −0.763733 −0.721740
1
16
0.763405 0.786079 −0.753425 −0.725577
1
32
0.775004 0.786356 −0.742301 −0.726540
1
64
0.780747 0.786425 −0.735134 −0.726782
Exakt 0.786448 0.786448 −0.726862 −0.726862
Tabelle 3.1: Differenzenapproximation von f ′ (1/2) (zwei Tabellen links) und f ′′ (1/2)
(rechts) der Funktion f(x) = tanh(x). Dabei ist jeweils der einseitige bzw.
der zentrale Differenzenquotient genutzt worden.
1
Approximation der ersten Ableitung Einseitig
Zentral
1
Approximation der zweiten Ableitung
Einseitig
Zentral
0.1
0.1
0.01
0.01
Fehler
Fehler
0.001
0.001
0.0001
0.0001
h
1e-05
0.01 0.1 1
h
1e-05
0.01 0.1 1
Abbildung 3.7: Fehler bei der Differenzenapproximation der ersten (links) und zweiten
(rechts) Ableitung von f(x) = tanh(x) im Punkt x 0 = 1 2 .
Funktionswerte an den beiden Stützstellen nur fehlerhaft (mit relativem Fehler |ɛ| ≤ eps)
ausgewertet werden können und erhalten:
˜p ′ (x 0 ) = f(x 0 + h)(1 + ɛ 1 ) − f(x 0 − h)(1 + ɛ 2 )
(1 + ɛ 3 )
2h
= f(x 0 + h) − f(x 0 − h)
(1 + ɛ 3 ) + ɛ 1f(x 0 + h) − ɛ 2 f(x 0 − h)
+ O(eps 2 ).
2h
2h
Für den relativen Fehler gilt
∣
˜p ′ (x 0 ) − p ′ (x 0 )
p ′ (x 0 )
∣ ≤ eps + |f(x 0 + h)| + |f(x 0 − h)|
|f(x 0 + h) − f(x 0 − h)| eps + O(eps2 ).
Im Fall f(x 0 + h) ≈ f(x 0 − h) also f ′ (x 0 ) ≈ 0 kann der Fehler beliebig stark verstärkt
werden. Je kleiner h gewählt wird, umso größer wird dieser Effekt, denn:
f(x 0 + h) − f(x 0 − h) = 2hf ′ (x 0 ) + O(h 2 ).
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