Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
D.h., auch A (n−2) ist wieder symmetrisch. Symmetrische Hessenberg-Matrizen sind Tridiagonalmatrizen.
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Bemerkung 4.88 (Hessenberg-Normalform). Die Transformation einer Matrix A ∈
R n×n in Hessenberg-Form erfordert bei Verwendung der Householder-Transformationen
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3 n3 + O(n 2 ) arithmetische Operationen. Im Fall symmetrischer Matrizen erfordert die
Transformation in eine Tridiagonalmatrix 2 3 n3 + O(n 2 ) Operationen.
Die Transformation in Hessenberg-Form benötigt demnach etwas mehr arithmetische Operationen
als eine QR-Zerlegung. Im Anschluss können die QR-Zerlegungen einer Hessenberg-
Matrix mit weitaus geringerem Aufwand erstellt werden. Weiter gilt, dass für die QR-
Zerlegung einer Hessenberg-Matrix A gilt, dass die Matrix RQ wieder Hessenberg-Gestalt
hat. Beides fasst der folgende Satz zusammen:
Satz 4.89 (QR-Zerlegung von Hessenberg-Matrizen). Es sei A ∈ R n×n eine Hessenberg-
Matrix. Dann kann die QR-Zerlegung A = QR mit Householder-Transformationen in
2n 2 + O(n) arithmetische Operationen durchgeführt werden. Die Matrix RQ hat wieder
Hessenberg-Gestalt.
Beweis: Es gilt a ij = 0 für i > j + 1. Wir zeigen, dass induktiv, dass diese Eigenschaft für
alle Matrizen A (i) gilt, die im Laufe der QR-Zerlegung entstehen. Zunächst folgt im ersten
Schritt für v (1) = a 1 + ‖a 1 ‖e 1 hieraus v (1)
k
= 0 für alle k > 2. Die neuen Spaltenvektoren
berechnen sich zu:
a (1)
i = a i − (a i , v (1) )v (1) . (4.14)
Da v (1)
k
= 0 für k < 2 gilt (a (1)
i ) k = 0 für k > i + 1, d.h. A (1) hat wieder Hessenberg-Form.
Diese Eigenschaft gilt induktiv für i = 2, . . . , n − 1.
Da der (reduzierte) Vektor ṽ (i) in jedem Schritt nur zwei von Null verschiedene Einträge
hat, kann dieser in 4 Operationen erstellt werden. Die Berechnung der n − i neuen Spaltenvektoren
gemäß (4.14) bedarf je 4 arithmetischer Operationen. Insgesamt ergibt sich
ein Aufwand von
n−1 ∑
i=1
4 + 4(n − i) = 2n 2 + O(n).
Es bleibt (als Übung) die Hessenberg-Gestalt der Matrix A ′ := RQ nachzuweisen.
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In Verbindung mit der Reduktion auf Hessenberg, bzw. auf Tridiagonalgestalt ist das QR-
Verfahren eines der effizientesten Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten einer Matrix
A ∈ R n×n . Die QR-Zerlegung kann in O(n 2 ) Operationen durchgeführt werden, und im
Laufe des QR-Verfahrens entstehen ausschließlich Hessenberg-Matrizen.
Die Konvergenz des QR-Verfahrens hängt von der Separation der Eigenwerte |λ i |/|λ i+1 | ab.
Je weiter die Eigenwerte voneinander entfernt sind, umso besser konvergiert das Verfahren.
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