Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
Es ist dennoch möglich für eine stückweise kubische Interpolation global C 2 ([a, b]) zu
erreichen. Dies wird durch den kubischen Spline realisiert, welcher auf dem Prinzip der
Energieminimierung basiert. Zu Stützstellen x i für i = 0, . . . , n wird eine Funktion s ∈
S (3,2)
h
gesucht mit der Eigenschaft:
s(x i ) = f(x i ) = y i , i = 0, . . . , n,
∫ b
a
s ′′ (x) 2 dx = min!.
Die Ableitungswerte von s(x) müssen in den Stützstellen keiner Interpolationsbedingung
genügen, s(x) muss global lediglich stetig zweimal differenzierbar sein (d.h., die Ableitungswerte
von s(x) müssen an den Enden der Teilintervalle stetig sein) und die Energie,
also das Integral über die zweiten Ableitungen muss minimiert werden.
Hieraus ist wohl auch der Begriff Spline entsprungen, da seine Übersetzung ins Deutsche
der Biegestab ist. Man stelle sich einen elastischen Stab vor, welcher an gewissen Punkten
festgehalten wird, dazwischen jedoch eine freie Form annehmen darf. Nach physikalischen
Grundprinzipien wird diese Form die Energie des Stabes minimieren. Das Energieminimierungsprinzip
ist höchst wichtig und tritt in der Natur und Alltag häufig auf (z.B.
Seifenhäute). Man mache sich klar, dass eine minimale Energie den geringsten Energieverbrauch
bedeutet und damit Treibstoffkosten gespart werden kann.
Diese Form des Splines ist die am häufigsten genutzte Spline-Interpolationsaufgabe und
hat z.B. große Anwendungen in der Computergrafik.
Mathematisch ausgedrückt bedeutet Energieminimierung im Falle des Splines:
∫ b
a
s ′′ (x) 2 dx = min!
bzgl. aller möglichen interpolierenden (hinreichend glatten) Funktionen.
Definition 3.25 (Kubischer Spline). Eine Funktion s n : [a, b] → R wird kubischer Spline
bzgl. Zerlegung a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b genannt, wenn gilt
i) s n ∈ C 2 [a, b].
ii) s n | [xi−1 ,x] ∈ P 3 , i = 1, . . . n.
Falls zusätzlich
iii) s ′′ n(a) = s ′′ n(b) = 0
gilt, so heißt der Spline natürlich.
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