Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.5 Numerische Integration
Der Mittelwertsatz darf hier angewendet werden, da stets ∏ n
j=0 (x − λ j ) 2 ≥ 0. Der Term
[f(λ i ) − h(λ i )] = 0, da hier die Interpolationsbedingungen ausgenutzt worden sind. Damit
ist alles gezeigt.
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Bemerkung 3.64 (Zur Regularität in der Fehlerformel). Es bleibt zu bemerken, dass
zur Gültigkeit der Fehlerabschätzung 3.63 eine vergleichsweise hohe Regularität an die
Funktion f gestellt wird: f ∈ C 2n+2 [a, b]. Um Aussagen über die Fehlerentwicklung bei
geringerer Regularität zu erhalten, sollte man wieder zu summierten Formeln (siehe Splines
und stückweise interpolatorische Quadratur) übergehen.
Nachdem wir nun das theoretische Fundament der Gaußquadratur bereitgestellt haben
verbleibt im finalen Schritt die explizite Angabe der Stützstellen sowie der (Quadratur)-
Gewichte. Hierzu nutzen wir die Legendre-Polynome, die grundsätzlich bei orthogonalen
Polynomen eine herausragende Rolle spielen.
Legendre-Polynome
Satz 3.65 (Legendre-Polynome). Die Legendre-Polynome L n ∈ P n mit
d n
L n (x) := 1
2 n n! dx n (x2 − 1) n ,
sind die bezüglich des L 2 ([−1, 1])-Skalarprodukt orthogonalisierten Monome {1, x, x 2 , . . . }.
Beweis: Zunächst gilt L n ∈ P n , denn n-fache Ableitung von x 2n liefert das höchste Monom
x n . Die Orthogonalitätseigenschaft folgt durch mehrfache Anwendung von partieller
Integration aus Ausnutzen der Tatsache, dass der Term (x 2 − 1) n an den beiden Intervallenden
n-fache Nullstellen besitzt.
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Mit den Legendre-Polynomen existiert eine explizite Darstellung für die orthogonalen Polynome
bezüglich des L 2 ([−1, 1])-Skalarprodukts. Diese Polynome unterscheiden sich von
den Polynomen aus Satz 3.58 lediglich durch die Normierung. Für die orthogonalen Polynome
p n (x) aus Satz 3.58 gilt, dass der Koeffizient vor dem höchsten Monom 1 ist. Für
die Legendre-Polynome gilt die Normierungseigenschaft L n (1) = 1.
Die ersten Legendre-Polynome lauten:
L 0 (x) = 1,
L 1 (x) = x, x 0 = 0
L 2 (x) = 1 1
2 (3x2 − 1), x 0/1 = ±√
3 ,
L 3 (x) = 1 √ 3
2 (5x3 − 3x), x 0 = 0, x 1/2 = ±
5
L 4 (x) = 1 8 (35x4 − 30x 2 + 3), x 0/1 ≈ ±0.861136, x 2/3 ≈ ±0.339981
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