Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.6 Approximationstheorie
1.5
1
f(x)
Gauss-Approximation
Lagrange-Interpolation
0.3
0.2
Fehler Gauss-Approximation
Fehler Lagrange-Interpolation
0
0.5
0.1
0
0
-0.5
-0.1
-1
-0.2
-1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
-0.3
-1 -0.5 0 0.5 1
Abbildung 3.10: Gauss-Approximation sowie Lagrange-Interpolation (jeweils kubisch) der
Funktion f(x) = sin(πx). Rechts: Fehler der Approximationen.
Die Normierung mit ‖L n ‖ −2 ist notwendig, da die Legendre-Polynome bezüglich der L 2 -
Norm nicht normiert sind, vergleiche Satz 3.65.
Die Eigenschaft von p ∈ P n die beste Approximation zu f im Raum der Polynome zu
sein, bedeutet auch, dass p bezüglich der L 2 -Norm eine bessere Approximation ist als jede
Lagrange-Interpolation zu beliebiger Wahl von Stützstellen x 0 , . . . , x n in [−1, 1]. Hieraus
können wir auf triviale Weise eine einfache Fehlerabschätzung herleiten. Dazu sei f ∈
C n+1 ([a, b]) und p ∈ P n die Bestapproximation. Es gilt:
‖f − p‖ L 2 ([a,b]) ≤ ‖f n+1 ‖ ∞
(n + 1)!
⎛
∫ 1 n∏
min ⎝
x 0 ,...,x n∈[a,b] −1
j=0
⎞
(x − x j ) 2 dx⎠
1
2
. (3.20)
Das Minimum des zweiten Ausdrucks ist nicht einfach zu bestimmen, es können alle Stützstellen
im Intervall frei variiert werden. Wir werden aber später auf diesen Punkt zurückkommen
und diese Lücke schließen.
Beispiel 3.81 (Gauss-Approximation vs. Lagrange-Interpolation). Wir approximieren die
Funktion f(x) = sin(πx) auf dem Intervall I = [−1, 1] mit Polynomen vom Grad drei.
Zunächst erstellen wir in den äquidistant verteilten vier Stützstellen
x i = −1 + 2i
3 , i = 0, . . . , 3
das zugehörige Lagrangesche Interpolationspolynom. Aufgrund von f(x 0 ) = f(x 3 ) = 0 gilt:
p L (x) = sin(x 1 )L (3)
1 (x) + sin(x 2)L (3)
2 (x)
= 27√ 3
16 (x − x3 ).
Als zweite Approximation bestimmen wir die Gauß-Approximation in der L 2 -Norm. Hierzu
verwenden wir die Darstellung über die normierten Legendre-Polynome ˜L n (x) auf [−1, 1].
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