Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme
Beweis: Es gilt det(R) = ∏ r ii ≠ 0. Also ist die Matrix R regulär.
Jeder Schritt der Rückwärtseinsetzen besteht aus Additionen, Multiplikationen und Division
durch die Diagonalelemente. Bei r ii ≠ 0 ist jeder Schritt durchführbar.
Zur Berechnung von x i sind n−(i+1) Multiplikationen und Additionen notwendig. Hinzu
kommt eine Division pro Schritt. Dies ergibt:
n +
n−1 ∑
i=1
( n − (i + 1)
) = n + (n − 1)n − (n − 1) −
n(n − 1)
2
= n2 − n + 2
.
2
Die Transformation von A auf Dreiecksgestalt geschieht durch zeilenweise Elimination:
⎛
⎞ ⎛
⎞
a 11 a 12 a 13 . . . a 1n
a 11 a 12 a 13 . . . a 1n
a 21 a 22 a 23 . . . a 2n
0 a (1)
22 a (1)
23 . . . a (1)
2n
. a 31 a 32 a .. 33 a3n
→
0 a (1)
32 a (3) . .. (1)
33 a 3n
→
⎜
⎝
.
. . .. . ⎟
.. . ⎠ ⎜
⎝
.
. . .. . .. ⎟ . ⎠
a n1 a n2 a n3 . . . a nn 0 a (1)
n2 a (1)
n3 . . . a (1)
nn
⎛
⎞
a 11 a 12 a 13 . . . a 1n
0 a (1)
22 a (1)
23 . . . a (1)
2n
→
0 0 a (2) . .. (2)
33 a 3n
→ · · · → A (n−1) =: R.
⎜
.
⎝ . . .. . .. ⎟ . ⎠
0 0 a (2)
n3 . . . a (2)
nn
Beginnend mit A (0) := A werden sukzessive Matrizen A (i) erzeugt, mit A (n−1) =: R. Dabei
wird in Schritt i des Verfahrens die Spalte i-te Spalte von A (i−1) unterhalb der Diagonalen
eliminiert. Dies geschieht durch Subtraktion des g (i)
k
-fachen der i-ten Zeile von der k-ten.
Hierbei gilt:
g (i)
k
:= a(i−1) ki
a (i−1)
ii
Im i-ten Eliminationschritt bleiben die ersten i − 1 Zeilen und Spalten unverändert. Der
i-te Eliminationsschritt lässt sich kompakt in Form einer Matrix-Matrix Multiplikation
schreiben
A (i) = F (i) A (i−1) ,
mit der Eliminationsmatrix (alle nicht spezifizierten Einträge sind Null):
⎛
1
F (i) :=
⎜
⎝
.
⎞
. .. 1
−g (i) . ..
, g (i)
k
i+1
.
. .. ⎟
⎠
−g n (i)
1
:= a(i−1) ki
a (i−1)
ii
.
□
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