Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Bei effizienter Implementierung auf moderner Hardware ist das Gleichungssystem mit
10 000 Unbekannten in wenigen Sekunden, das größte Gleichungssystem in wenigen Stunden
lösbar.
Einfache Fixpunktiterationen Wir schätzen zunächst für Jacobi- sowie Gauß-Seidel-
Verfahren die Spektralradien ab. Mit einem Eigenwert λ und Eigenvektor w von A gilt:
Aw = λw ⇒ Dw + (L + R)w = λw ⇒ −D −1 (L + R)w = −D −1 (λI − D)w.
D.h. wegen D ii = 4 gilt
und die Eigenwerte von J liegen zwischen
Jw = λ − 4 w,
4
λ min (J) = 1 4 (λ min(A) − 4) ≈ −1 + π2
2n ,
λ max(J) = 1 4 (λ max(A) − 4) ≈ 1 − π2
2n .
Für die Konvergenzrate gilt:
Aus (5.15) folgt:
ρ J := 1 − π2
2n .
ρ H := ρ 2 J ≈ 1 − π2
n .
Zur Reduktion des Fehlers um einen gegebenen Faktor ɛ sind t Schritte erforderlich:
ρ t J
J
= ɛ ⇒ t J = log(ɛ)
log(ρ) ≈ 2 π 2 log(ɛ)n,
t H ≈ 1 π 2 log(ɛ)n,
Jeder Schritt hat den Aufwand eines Matrix-Vektor Produktes, d.h. im gegebenen Fall 5n.
Schließlich bestimmen wir gemäß (5.16) den optimalen SOR-Parameter zu
ω opt ≈ 2 − 2 π √ n
.
Dann gilt:
ρ ω = ω opt − 1 ≈ 1 − 2 π √ n
.
Hieraus erhalten wir:
t ω ≈ log(ɛ) √ n.
2π
Der Aufwand des SOR-Verfahrens entspricht dem des Gauß-Seidel-Verfahrens mit einer
zusätzlichen Relaxation, d.h. 6n Operationen pro Schritt. Wir fassen zusammen für die
drei Verfahren Konvergenzrate, Anzahl der notwendigen Schritte und Gesamtaufwand zusammen.
Dabei ist stets ɛ = 10 −4 gewählt:
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