Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2 Nullstellenbestimmung
f
x1
x0
Abbildung 2.3: Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens.
Satz 2.10 (Newton-Verfahren). Die Funktion f ∈ C 2 [a, b] habe im Innern des Intervalls
[a, b] eine Nullstelle ˆx, und es seien
m := min
a≤x≤b |f ′ (x)| > 0,
M := max
a≤x≤b |f ′′ (x)|.
Es sei ρ > 0 so gewählt, dass
q := M 2m ρ < 1,
K ρ(ˆx) := {x ∈ R : |x − ˆx| ≤ ρ} ⊂ [a, b].
Dann sind für jeden Startpunkt x 0 ∈ K ρ (ˆx) die Newton-Iterierten x k ∈ K ρ (ˆx) definiert
und konvergieren gegen die Nullstelle ˆx. Desweiteren gelten die a priori Fehlerabschätzung
und die a posteriori Fehlerabschätzung
|x k − ˆx| ≤ 2m M q2k , k ∈ N,
|x k − ˆx| ≤ 1 m |f(x k)| ≤ M 2m |x k − x k+1 | 2 , k ∈ N.
Beweis: Wir rekapitulieren zunächst einige Resultate aus der Analysis. Für zwei Punkte
x, y ∈ [a, b], x ≠ y, gilt aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung
f(x) − f(y)
∣ x − y ∣ = |f ′ (ζ)| ≥ m,
mit einem ζ ∈ [x, y]. Daraus folgt
|x − y| ≤ 1 |f(x) − f(y)|.
m
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