Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme
Bemerkung 4.25 (Praktische Aspekte). Die Matrix L ist eine linke untere Dreiecksmatrix
mit Einsen auf der Diagonale. Die bekannten Diagonalelemente müssen demnach
nicht gespeichert werden. Ebenso müssen die Nullelemente der Matrizen A (i) unterhalb
der Diagonale nicht gespeichert werden. Es bietet sich an, die Matrizen L und R in der
gleichen quadratischen Matrix zu speichern. In Schritt i gilt dann:
⎛
⎞
a 11 a 12 a 13 · · · · · · · · · a 1n
l 21 a (1)
22 a (1)
23
.
l 31 l 32 a (2)
. .. 33
.
à (i) .
=
. . . . .. .
. l i+1,i a (i)
i+1,i+1 · · · a (i)
i+1,n
⎜
. ⎝ .
.
.. . ⎟
⎠
l n1 l n2 · · · l n,i a (i)
n,i+1 . . . a (i)
nn
Dabei sind die fett gedruckten Werte die Einträge von L. Die Werte oberhalb der Linie
ändern sich im Verlaufe des Verfahrens nicht mehr und bilden bereits die Einträge L sowie
R.
Pivotierung Das Element a (i−1)
ii wird das Pivot-Element genannt. Bisher musste dieses
Element stets ungleich Null sein. Dies ist jedoch für reguläre Matrizen nicht zwingend
notwendig. Wir betrachten als Beispiel die Matrix
⎛
⎜
1 4 2
⎞
⎟
A := ⎝2 8 1⎠ .
1 2 1
Im ersten Schritt zur Erstellung der LR-Zerlegung ist a (0)
11
= 1 und es gilt:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
1 0 0 1 4 2
A (1) = F (1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
1 4 2
⎞
⎟
A = ⎝−2 1 0⎠
⎝2 8 1⎠ = ⎝0 0 −3⎠ .
−1 0 1 1 2 1 0 −2 −1
An dieser Stelle bricht der Algorithmus ab, denn es gilt a (1)
22 = 0. Wir könnten den Algorithmus
jedoch mit der Wahl a (i)
32 = −2 als neues Pivot-Element weiterführen. Dies geschieht
systematisch durch Einführen einer Pivotisierung. Im i-ten Schritt des Verfahrens wird
zunächst ein geeignetes Pivot-Element a ki in der i-ten Spalte gesucht. Die k-te und i-te
Zeile werden getauscht und die LR-Zerlegung kann nicht weiter durchgeführt werden. Das
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