Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
mit einem Mittelwert ξ. Wir wählen nun ¯f so, dass ¯f[(a + b)/2, x] = f ′ ((a + b)/2). Dann
folgt (mit nochmaliger Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung):
∫ b ∫ 1 (
I(f) − I 0 (f) = f ′′ (ξ) t x − a + b ) 2
(b − a)3
dt dx = f ′′ (ξ).
2
24
a
0
Die höhere Ordnung der Mittelpunktsregel erhalten wir nur durch Einschieben der Null
in Form einer linearen Funktion ¯f. Mit dem gleichen Aufwand wie die Boxregel, also mit
einer Auswertung der Funktion f(x) erreicht die Mittelpunktsregel die doppelte Ordnung.
Satz 3.44 (Trapezregel). Es sei f ∈ C 2 ([a, b]). Die Trapezregel (Definition 3.38) ist von
Ordnung 2 und es gilt die Fehlerabschätzung:
I 1 (f) := b − a
2 (f(a) + f(b)), I(f) − I1 (f) =
mit einer Zwischenstelle ξ ∈ (a, b).
Beweis: Mit Satz 3.4 gilt:
I 1 (f) − I(f) =
∫ b
a
(b − a)3
f ′′ (ξ),
12
f[a, b, x](x − a)(x − b) dx. (3.15)
Für f[a, b, x] gilt bei zweimaliger Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung:
f[a, b, x] =
∫ 1 ∫ t1
0
0
f ′′ (a + t 1 (b − a) + t(x − b)) dt dt 1 = 1 2 f ′′ (ξ a,b,x ),
mit einem Zwischenwert ξ x . Hiermit erhalten wir mit nochmaliger Anwendung des Mittelwertsatzes
(da (x − a)(x − b) ≤ 0) die Restgliedabschätzung:
I(f) − I 1 (f) = 1 2
∫ b
mit einem weiteren Zwischenwert ξ ∈ (a, b).
a
f ′′ (ξ x )(x − a)(x − b) dx =
(b − a)3
f ′′ (ξ),
12
Die Verwendung eines quadratischen Interpolationspolynoms führt auf die Simpson Regel:
Satz 3.45 (Simpson-Regel). Es sei f ∈ C 4 [a, b]. Die Simpson-Regel, basierend auf Interpolation
mit quadratischem Polynom:
I 2 (f) = b − a
6
ist von Ordnung vier und es gilt:
wobei ξ ∈ (a, b).
∫ b
a
(
f(a) + 4f
( a + b
2
) )
+ f(b) ,
f(x) = I(f) − I 2 (f) = f (4) (ξ)
2880 (b − a)5 ,
□
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