Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.1 Grundlagen der linearen Algebra
Vektorräume mit Skalarprodukt werden Prähilberträume genannt. (Ein Prähilbertraum
heißt Hilbertraum, falls er vollständig, also ein Banachraum ist). Komplexe Vektorräumen
mit Skalarprodukt nennt man auch unitäre Räume, im Reellen spricht man von euklidischen
Räumen.
Skalarprodukte sind eng mit Normen verwandt:
Satz 4.5 (Induzierte Norm). Es sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Dann ist durch
auf V die induzierte Norm gegeben.
‖x‖ =
√
(x, x), x ∈ V,
Beweis: Übung!
□
Die euklidische Norm ist die vom euklidischen Skalarprodukt induzierte Norm:
‖x‖ 2 = (x, x) 1 2
2 .
Einige wichtige Sätze gelten für Paare aus Skalarprodukt und induzierter Norm:
Satz 4.6. Es sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt (·, ·) und induzierter Norm ‖ · ‖.
Dann gilt die Cauchy-Schwarz Ungleichung:
sowie die Parallelogrammidentität:
|(x, y)| ≤ ‖x‖ ‖y‖ ∀x, y ∈ V,
‖x + y‖ 2 + ‖x − y‖ 2 = 2‖x‖ 2 + 2‖y‖ 2 ∀x, y ∈ V.
Beweis: Übung.
□
Mit Hilfe des Skalarproduktes 4.4 können wir den Begriff der Orthogonalität einführen:
zwei Vektoren x, y ∈ V heißen orthogonal, falls (x, y) = 0.
Eine der Aufgaben der numerischen linearen Algebra ist die Orthogonalisierung (oder auch
Orthonormalisierung) von gegebenen Systemen von Vektoren:
Definition 4.7 (Orthonormalbasis). Eine Basis B = {v 1 , . . . , v n } von V heißt Orthogonalbasis
bezüglich des Skalarproduktes (·, ·), falls gilt:
(φ i , φ j ) = 0 ∀i ≠ j,
und Orthonormalbasis falls gilt:
(φ i , φ j ) = δ ij ,
mit dem Kronecker-Symbol δ ij .
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