Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.6 Approximationstheorie
Der endlich-dimensionale Teilraum S ⊂ H besitzt eine Basis {φ 1 , . . . , φ n } mit n := dim(S).
Die beste Approximation p ∈ S stellen wir als Linearkombination in dieser Basis dar:
p =
n∑
α k u k ,
k=1
mit eindeutig bestimmten Koeffizienten α k ∈ R. Dieser Ansatz für p wird in die Orthogonalitätsbedingung
eingesetzt:
(f − p, φ) = (f −
n∑
α k φ k , φ) = (f, φ) −
k=1
n∑
α k (φ k , φ) = 0 ∀φ ∈ S.
Wir durchlaufen mit φ nach und nach alle Basisvektoren und erhalten (Superpositionsprinzip)
das lineare Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen:
n∑
(φ k , φ i ) α
} {{ } }{{} k
k=1
=a ki x
k=1
= (f, φ i )
} {{ }
i = 1, . . . , n, (3.19)
=b i
in dem der Koeffizientenvektor x = (α k ) k=1,...,n die gesuchte unbekannten Lösung ist. Die
sogenannte Systemmatrix A = (a ij ) n i,j=1 ist die Gramsche Matrix der Basis {φ 1, . . . , φ n }
und stets regulär. A ist folglich injektiv. Weiter ist A symmetrisch und also auch positiv
definit. Das Gleichungssystem Ax = b ist somit für jede rechte Seite b (d.h. für jedes f ∈
H) eindeutig lösbar. Damit ist über die Orthogonalitätsbedingung eindeutig ein Element
p ∈ P bestimmt, welches aufgrund von Teil Satz 3.78 die Bestapproximationseigenschaft
besitzt.
□
Der Beweis liefert sofort ein Konstruktionsprinzip zur Bestimmung der Bestapproximation
p ∈ S. Wir stellen zu gegebener Basis {φ 1 , . . . , φ n } das lineare n × n Gleichungssystem
auf:
n∑
a ij α j = b i , i = 1, . . . , n,
j=1
mit a ij = (ψ i , ψ j ) und berechnen den Ergebnisvektor x = (α j ) j . Die gesuchte Bestapproximation
p ∈ S ist dann in der Basisdarstellung gegeben als
n∑
p = α i ψ i .
i=1
Zur numerischen Realisierung muss zunächst das lineare Gleichungssystem aufgestellt werden,
d.h. insbesondere müssen die Einträge der Systemmatrix (numerisch) integriert werden.
Schließlich ist das lineare Gleichungssystem Ax = b zu lösen. Das Lösen von linearen
Gleichungssystemen stellt einen eigenen Schwerpunkt in der numerischen Mathematik dar
und wir befassen uns damit in Kapitel 4. Es zeigt sich, dass dieser Lösungsweg numerische
sehr instabil ist. Angenommen, wir starten die Konstruktion mit der Monombasis
{1, x, . . . , x n }. Dann ist die durch
a ij =
∫ 1
−1
x i x j dx,
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