Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Die Schwierigkeit bei der Realisierung des SOR-Verfahrens ist die Bestimmung von guten
Relaxationsparametern, so dass die Matrix H ω einen möglichst kleinen Spektralradius
besitzt. Es gilt die erste Abschätzung:
Satz 5.31 (Relaxationsparameter des SOR-Verfahrens). Es sei A ∈ R n×n mit regulärem
Diagonalteil D ∈ R n×n Dann gilt:
Für spr(H ω ) < 1 muss gelten ω ∈ (0, 2).
spr(H ω ) ≥ |ω − 1|, ω ∈ R.
Beweis: Wir nutzen die Matrix-Darstellung der Iteration:
H ω = [D + ωL] −1 [(1 − ω)D − ωR] = (I + w } D −1 {{ L}
) −1 D} −1 {{ D}
[(1 − ω)I − ω } D −1 {{ R}
].
=: ˜L =I
=: ˜R
Die Matrizen ˜L sowie ˜R sind echte Dreiecksmatrizen mit Nullen auf der Diagonale. D.h., es
gilt det(I +ω ˜L) = 1 sowie det((1−ω)I −ω ˜R) = (1−ω) n , also Nun gilt für die Determinante
von H ω
det(H ω ) = 1 · (1 − ω) n .
Für die Eigenwerte λ i von H ω gilt folglich
n∏
i=1
λ i = det(H ω ) = (1 − ω) n ⇒ spr(H ω ) = max
1≤i≤n |λ i| ≥
( n ∏
|λ i |
i=1
) 1
n
= |1 − ω|.
Die letzte Abschätzung nutzt, dass das geometrische Mittel von n Zahlen kleiner ist, als
das Maximum.
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Dieser Satz liefert eine erste Abschätzung für die Wahl des Relaxationsparameters, hilft
jedoch noch nicht beim Bestimmen eines Optimums. Für die wichtige Klasse von positiv
definiten Matrizen erhalten wir ein sehr starkes Konvergenzresultat:
Satz 5.32 (SOR-Verfahren für positiv definite Matrizen). Es sei A ∈ R n×n eine symmetrisch
positiv definite Matrix. Dann gilt:
spr(H ω ) < 1 für 0 < ω < 2.
SOR-Verfahren und auch Gauß-Seidel-Verfahren sind konvergent.
Beweis: Siehe [9].
Für die oben angegebene Modellmatrix ist die Konvergenz von Jacobi- sowie Gauß-Seidel-
Iteration auch theoretisch abgesichert. Für diese Matrizen (und allgemein für die Klasse
der konsistent geordneten Matrizen, siehe [9]) kann für die Jacobi- J und Gauß-Seidel-
Iteration H 1 der folgende Zusammenhang gezeigt werden:
spr(J) 2 = spr(H 1 ). (5.15)
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