Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.5 Numerische Integration
Wir schließen die Richardson-Extrapolation mit einem weiteren Beispiel ab:
Beispiel 3.34 (Extrapolation des zentralen Differenzenquotienten). Wir approximieren
die Ableitung von f(x) = tanh(x) an der Stelle x = 0.5 mit dem zentralen Differenzenquotienten
und Extrapolation. Exakter Wert ist tanh ′ (0.5) ≈ 0.7864477329:
h a(h) = p kk p k,k+1 p k,k+2 p k,k+3
2 −1 0.761594156 0.7867493883 0.7864537207 0.7864477443
2 −2 0.780460580 0.7864721999 0.7864478377
2 −3 0.784969295 0.7864493603
2 −4 0.786079344
Bereits die jeweils erste Extrapolation p k,k+1 liefert weit bessere Ergebnisse als die Extrapolation
des einseitigen Differenzenquotienten. Die beste Approximation verfügt über 8
richtige Stellen.
3.5 Numerische Integration
Die numerische Integration (oder auch numerische Quadratur) dient zur approximativen
Berechnung von Integralen. Mögliche Gründe sind
• Die Stammfunktion eines Integrals lässt sich nicht durch eine elementare Funktion
ausdrücken. Z.B. ∫ ∞
∫ ∞
exp(−x 2 sin(x)
) dx,
dx.
x
0
• Eine Stammfunktion existiert in geschlossener Form, aber die Berechnung ist derart
aufwendig, so dass numerische Methoden vorzuziehen sind.
• Der Integrand ist nur an diskreten Stellen bekannt; beispielsweise bei Messreihendaten.
Bei der numerischen Integration basieren die Methoden auf den bereits kennengelernten
Interpolatonsmethoden. Sie sind somit eine klassische Anwendung der der Polynom-
Interpolation sowie Spline-Interpolation. Erstere führen auf die sogenannten interpolatorischen
Quadraturformeln während die Spline-Interpolation auf die stückweise interpolatorische
Quadratur (die in der Literatur auch häufig unter dem Namen der zusammengesetzten
oder summierten Quadratur zu finden ist).
Bei der interpolatorischen Quadratur einer Funktion f(x) auf dem Intervall [a, b] wird
zunächst eine Interpolationspolynom zu gegebenen Stützstellen x 0 , x 1 , . . . , x n kreiert, welches
dann integriert wird (basiert dementsprechend auf Abschnitt 3.1). Bei der Gauß
Quadratur wird die Position der Stützstellen x i ∈ [a, b] im Intervall so bestimmt, dass die
resultierende Integrationsformel eine optimale Ordnung erzielt. Zuletzt betrachten wir als
Anwendung der Extrapolation zum Limes (Abschnitt 3.4), dass sogenannte Romberg’sche
Integrationsverfahren in Abschnitt 3.5.4.
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