Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5 Numerische Iterationsverfahren
Satz 5.25 (Starkes Zeilensummenkriterium). Falls die Zeilensummen der Matrix A ∈
R n×n der strikte Diagonaldominanz genügt
n∑
k=1,k≠j
|a jk | < |a jj |, j = 1, . . . , n,
so gilt spr(J) < 1 bzw. spr(H) < 1, sprich Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren konvergieren.
Beweis: Wir beweisen den Satz für beide Verfahren gleichzeitig. Es seien λ ∈ σ(J) bzw.
µ ∈ σ(H) und v bzw. w die zugehörigen Eigenvektoren. Das bedeutet für das Jacobi-
Verfahren
λv = Jv = D −1 (L + R)v,
und für das Gauß-Seidel-Verfahren
µw = Hw = −(D + L) −1 Rw ⇔ µw = −D −1 (µL + R)w.
Falls ‖v‖ ∞ = ‖w‖ ∞ = 1, dann folgt hieraus für das Jacobi-Verfahren
⎧
⎨
|λ| ≤ ‖D −1 (L + R)‖ ∞ ‖v‖ ∞ = ‖D −1 1
(L + R)‖ ∞ ≤ max
j=1,...,n ⎩|a jj |
und für das Gauß-Seidel-Verfahren
|µ| ≤ ‖D −1 (µL+R)‖ ∞ ‖w‖ ∞ = ‖D −1 (µL+R)‖ ∞ ≤ max
⎧
⎨
1
1≤j≤n ⎩|a jj | [∑ kj
Hier muss jetzt noch |µ| < 1 gezeigt werden. Für |µ| ≥ 1 ergäbe sich der Widerspruch
woraus notwendig |µ| < 1 folgt.
|µ| ≤ |µ|‖D −1 (L + R)‖ ∞ < |µ|
Dieses Kriterium ist einfach zu überprüfen und erlaubt sofort eine Einschätzung, ob Jacobiund
Gauß-Seidel-Verfahren bei einer gegebenen Matrix konvergieren. Es zeigt sich jedoch,
dass die strikte Diagonaldominanz eine zu starke Forderung darstellt: die schon bekannte
Modellmatrix der Form
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
B −I
4 −1
1
−I B −I
A = ⎜
⎟
⎝ −I B −I⎠ , B = −1 4 −1
⎜
⎟
⎝ −1 4 −1⎠ , I = 1
⎜
⎟
⎝ 1 ⎠ ,
−I B
−1 4
1
ist nur Diagonaldominant (siehe Definition 4.31), jedoch nicht strikt Diagonaldominant.
(Es zeigt sich aber, dass sowohl Jacobi- als auch Gauß-Seidel-Verfahren dennoch konvergieren).
Eine Abschwächung der Konvergenzaussage erhalten wir mit Hilfe der folgenden
Definition:
□
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