Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Definition 4.50 (QR-Zerlegung). Die Zerlegung einer Matrix A ∈ R n×n in eine orthogonale
Matrix Q ∈ R n×n sowie eine rechte obere Dreiecksmatrix R ∈ R n×n gemäß
heißt QR-Zerlegung.
A = QR,
Die QR-Zerlegung hat den Vorteil, dass die Matrix R = Q T A die gleiche Konditionszahl
hat wie die Matrix A selbst. Einmal erstellt, kann die QR-Zerlegung genutzt werden, um
lineare Gleichungssysteme mit der Matrix A effizient zu lösen:
Ax = b ⇔ Q T Ax = Q T b ⇔ Rx = Q T b.
Zur Realisierung der QR-Zerlegung stellt sich die Frage nach der Konstruktion orthogonaler
Matrizen Q zur Reduktion von A auf Dreiecksgestalt.
4.4.1 Das Gram-Schmidt Verfahren
Der wichtigste Algorithmus zum Erstellen einer Orthonormalbasis ist das Orthogonalisierungsverfahren
nach Gram-Schmidt:
Satz 4.51 (Gram-Schmidt Orthonormalisierungsverfahren). Es sei durch {a 1 , . . . , a n } eine
Basis des R n gegeben, durch (·, ·) ein Skalarprodukt mit induzierter Norm ‖ · ‖. Die
Vorschrift:
(i) q 1 := a 1
‖a 1 ‖ ,
∑
i = 2, . . . , n : (ii) ˜q i := a i − (a i , q j )q j , q i := ˜q i
‖˜q i ‖ ,
erzeugt eine Orthonormalbasis {q 1 , . . . , q n } des R n . Es gilt ferner:
i−1
j=1
(q i , a j ) = 0 ∀1 ≤ j < i ≤ n.
Beweis: Wir führen den Beweis per Induktion. Für i = 1 ist a 1 ≠ 0, da durch a 1 , . . . , a n
der ganze R n aufgespannt wird. Für i = 2 gilt:
(˜q 2 , q 1 ) = (a 2 , q 1 ) − (a 2 , q 1 ) (q 1 , q 1 ) = 0.
} {{ }
=1
Aus der linearen Unabhängigkeit von a 2 und q 1 folgt, dass ˜q 2 ≠ 0. Es sei nun also (q k , q l ) =
δ kl für k, l > i. Dann gilt für k < i beliebig
i−1
∑
(˜q i , q k ) = (a i , q k ) − (a i , q j ) (q j , q k ) = (a i , q k ) − (a i , q k ) = 0.
} {{ }
j=1
=δ jk
146