Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Neben seiner Rolle zur Fehlerabschätzung kommt dem Defekt eine weitere wichtige Bedeutung
zu. Wir gehen davon aus, dass wir den Defekt d(˜x) ohne Rundungsfehler berechnen
können. Weiter nehmen wir an, dass wir auch die Defekt-Gleichung
Aw = d(˜x) = b − A˜x,
exakt nach w ∈ R n lösen können. Dann gilt für ˜x + w:
˜x + w = ˜x + A −1 (b − A˜x) = ˜x + x − ˜x = x.
Dieser Vorgang wird Defektkorrektur oder Nachiteration genannt. Die Annahme, dass Defekt
und Defektgleichung ohne Rundungsfehler gelöst werden können ist natürlich nicht
realistisch (dann könnte ja auch das Original-System exakt gelöst werden). Dennoch erhalten
wir als Grundlage der Nachiteration das folgende Ergebnis:
Satz 4.45 (Nachiteration). Es sei ɛ (klein genug) die Fehlertoleranz. Durch ˜x ∈ R n sei
eine Approximation zu Ax = b gegeben. Weiter sei ˜d eine Approximation zu d(˜x) mit
doppelter Genauigkeit:
‖d(˜x) − ˜d‖ ≤ cond(A)ɛ 2 . (4.3)
‖d(˜x)‖
Es sei ˜w eine Approximation der Defektgleichung Aw = ˜d mit einfacher Genauigkeit
‖w − ˜w‖
‖w‖
≤ cond(A)ɛ. (4.4)
Dann gilt für die Korrektur ˜x + ˜w die Abschätzung
‖x − (˜x + ˜w)‖
‖x‖
≤ ɛc(A)
‖x − ˜x‖
,
‖x‖
mit einer Konstante c(A), die von der Konditionszahl cond(A) abhängt.
Beweis: Wir definieren zunächst eine Hilfsgröße: es sei ŵ die exakte Lösung der exakten
Defektgleichung Aŵ = d(˜x):
Aŵ = b − A˜x ⇒ ŵ = A −1 b − A −1 A˜x = x − ˜x. (4.5)
Für den Fehler ŵ − w zwischen den exakten Lösungen von Aŵ = d(˜x) und Aw = ˜d gilt
laut Störungssatz 4.19:
‖ŵ − w‖
‖ŵ‖
‖d(˜x) − ˜d‖
≤ cond(A) ≤ ɛ 2 cond(A) 2 (4.6)
‖d(˜x)‖
} {{ }
(4.3)
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