Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5 Numerische Iterationsverfahren
Jacobi Gauß-Seidel SOR
n = m 2 t J N j t H N H ω opt t J N j
100 180 10 5 90 5 · 10 4 1.53 9 10 5
10000 18500 10 9 9300 5 · 10 8 1.94 142 10 7
1000000 1866600 10 13 933000 5 · 10 12 1.99 1460 10 9
Während das größte Gleichungssystem mit dem optimalen SOR-Verfahren in wenigen Sekunden
gelöst werden kann, benötigen Jacobi und Gauß-Seidel-Verfahren etliche Stunden.
Abstiegsverfahren
Schließlich betrachten wir Gradienten und CG-Verfahren. Es gilt:
ρ GR ≈ 1 − 2κ ≈ 1 − 4π 2 n, ρ CG ≈ 1 − 2 √ κ ≈ 1 − 2π √ n.
Bei effizienter Implementierung benötigt das Gradientenverfahren pro Iterationsschritt eine
Matrix-Vektor Multiplikation (5n Operationen), zwei Skalarprodukte (2n Operationen)
sowie 2 Vektor-Additionen (2n Operationen), insgesamt somit 9n Operationen. Der Aufwand
des CG-Verfahrens ist mit 15n Operationen etwas größer. Die Anzahl der Schritte
bestimmt sich zu
ρ t GR = 10 −4 ⇒ t GR ≈ n π 2 , t CG ≈ 2
π √ n .
Wir fassen zusammen:
Gradienten CG
n = m 2 t GR N GR t CG N CG
100 18 10 4 9 10 4
10000 2 330 10 8 140 10 7
1000000 233 300 10 12 1400 10 10
Wie bereits bekannt ist das Gradienten-Verfahren ebenso ineffektiv wie das Jacobi-Verfahren.
Das CG-Verfahren erreicht etwa die gleiche Effizienz wie das SOR-Verfahren bei optimaler
Wahl des Relaxationsparameters. Dieses Ergebnis darf nicht falsch interpretiert werden:
im Allgemeinen ist dieser Relaxationsparameter nicht verfügbar und muss grob approximiert
werden. D.h., in der praktischen Anwendung wird das SOR-Verfahren weit schlechter
konvergieren und das CG-Verfahren ist im Allgemeinen stark überlegen!
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