Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2 Nullstellenbestimmung
und damit (wegen p > 0) für die erste Nullstelle ˜x 1 = 3.998 mit einem Fehler |∆x 1 /x| ≈
0.00013. Die andere Wurzel kann mit den beiden Varianten berechnet werden:
• Exakte Rechnung: x 2 ≈ 0.0002501564,
• Variante 1: ˜x 2 = 0.002, mit einem Fehler |∆x 2 /x 2 | ≈ 0.2
• Variante 2: ˜x 2 = 0.002501, mit einem Fehler |∆x 2 /x 2 | ≈ 0.00023.
Die berechneten Wurzeln der beiden Varianten unterscheiden sich stark. Hinweis: die 4-
stellige Rechengenauigkeit dient hier nur zum Zwecke der Demonstration. Man mache sich
aber bewusst, dass sich die Instabilität bei größeren Genauigkeiten überträgt.
2.3 Intervallschachtelung
Das einfachste Verfahren zur Nullstellenbestimmung ist die Intervallschachtelung, wurde
bereits in Analysis I eingeführt, und basiert auf dem Zwischenwertsatz.
Es sei f ∈ C[a, b] und x, y ∈ [a, b] mit x < y. Falls f(x) und f(y) unterschiedliche
Vorzeichen haben, d.h.,
f(x)f(y) < 0,
dann besitzt die Funktion f nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle in
(a, b). Das folgende Verfahren ermittelt eine Approximation dieser Nullstelle.
a2
a1
b2
b1
a0
b0
f
Abbildung 2.2: Geometrische Interpretation der Intervallschachtelung.
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