Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Für den neuen Entwicklungskoeffizienten α k in x k+1 = x 0 + ∑ k
i=0 α i d i gilt durch Testen
der Galerkin-Gleichung (5.17) mit d k :
⎛
⎝b − Ax
} {{ 0 −
}
=d 0
k∑
i=0
α i Ad i , d k ⎞
⎠ = (b−Ax 0 , d k )−α k (Ad k , d k ) = (b−Ax 0 +A (x 0 − x k )
} {{ }
∈K k
, d k )−α k (Ad k , d k ).
Also:
α k = (rk , d k )
(Ad k , d k ) , xk+1 = x k + α k d k . (5.20)
Hieraus lässt sich auch unmittelbar der neue Defekt r k+1 bestimmen:
r k+1 = b − Ax k+1 = b − Ax k − α k Ad k = r k − α k Ad k . (5.21)
Wir fassen (5.19-5.21) zusammen und formulieren das klassische CG-Verfahren:
Algorithmus 5.45 (CG-Verfahren). Es sei A ∈ R n×n symmetrisch positiv definit, x 0 ∈
R n und r 0 = d 0 = b − Ax 0 gegeben. Iteriere für k = 0, 1, . . .
1. α k = (rk ,d k )
(Ad k ,d k )
2. x k+1 = x k + α k d k
3. r k+1 = r k − α k Ad k
4. β k = (rk+1 ,Ad k )
(d k ,Ad k )
5. d k+1 = r k+1 − β k d k
Das CG-Verfahren liefert eine Lösung nach (höchstens) n Schritten für ein n-dimensionales
Problem und kann daher prinzipiell als direktes Verfahren betrachtet werden. Allerdings
sind schon für relativ kleine Probleme (z.B. n = 1000) im ungünstigsten Fall 1000 Iterationen
notwendig. Deshalb wird das CG-Verfahren üblicherweise approximativ eingesetzt. In
jedem Iterationsschritt sind Rundungsfehler zu erwarten, daher werden die Suchrichtungen
{d 0 , . . . , d k−1 } nie wirklich orthogonal sein. Die Konvergenzanalyse des CG-Verfahrens
gestaltet sich als sehr aufwendig. Daher zitieren wir hier nur das Ergebnis:
Satz 5.46 (Konvergenz des CG-Verfahrens). Es sei A ∈ R n×n symmetrisch positiv definit.
Dann gilt für beliebigen Startvektor x 0 ∈ R n die Fehlerabschätzung
‖x k − x‖ A ≤ 2
( √ ) k
1 − 1/ κ
1 + 1/ √ ‖x 0 − x‖ A , k ≥ 0,
κ
mit der Spektralkondition κ = cond 2 (A) der Matrix A.
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