Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.5 Numerische Integration
Beispiel 3.54 (Optimale Stützstellenwahl durch Orthogonalisierung). Wir wollen die
Polynome p 1 (x) = (x − x 0 ) sowie p 2 (x) = (x − x 0 )(x − x 1 ) bestimmen, so dass sie im
L 2 -Skalarprodukt orthogonal auf allen Polynomen von Grad 0 bzw. 1 stehen. Ohne Einschränkung
betrachten wir das Intervall [−1, 1]:
Für n = 0 gilt mit q ≡ α 0 ∈ P 0
also muss x 0 = 0 gelten.
Im Fall n = 1 gilt mit q = α 0 + β 0 x:
0 ! = (x − x 0 , α 0 ) L 2 ([−1,1]) = −2x 0 α 0 ∀α 0 ∈ R,
0 ! = ((x − x 0 )(x − x 1 ), α 0 + β 0 x) L 2 [−1,1] = −2(x 0 + x 1 )
3
β 0 + 2(1 + 3x 0x 1 )
α 0 ∀α 0 , β 0 ∈ R.
3
Aus α 0 = 1 sowie β 0 = 0 folgern wir x 0 = −x 1 und aus α 0 = 0 und β 0 = 1 folgt hiermit
x 1/2 = ± 1 √
3
. Die optimalen Gewichte bestimmen wir gemäß Formel (3.14) zu:
α 0 0 =
∫ 1
−1
1 dx = 2, α 1 0 =
∫ 1
−1
x − √ −1
3
√1
3
− √ −1 dx = 1, α1 1 =
3
und wir erhalten die beiden ersten Gauß-Quadraturformeln:
(
IG(f) 0 = 2f(0), IG(f) 1 = f −√ 1 ) ( ) 1
+ f √3 .
3
∫ 1
−1
x − √ 1
3
√−1
3
− √ 1 dx = 1,
3
Die erste Formel ist gerade die Mittelpunktsregel, von der wir bereits die Ordnung zwei
(also 2n + 2 = 2 · 0 + 2) kennen. Die zweite Formel hat die Ordnung 4, dies kann einfach
durch Integration der Monome 1, x, x 2 , x 3 überprüft werden.
Gauß-Legendre-Quadratur
In diesem Abschnitt werden allgemeine Resultate zur Existenz und Eindeutigkeit von
Gauß’schen Quadraturregeln IG n (f) untersucht. Aus Konventionsgründen betrachtet man
dabei das Intervall [−1, 1] (zur Transformation auf allgemeine Intervalle sei auf Bemerkung
3.71 verwiesen).
Definition 3.55 (Gauß-Quadratur). Eine Quadraturformel zur Integration einer Funktion
f : [a, b] → R mit
n∑
IG(f) n = a k f(x k )
k=0
mit n+1 Quadratur-Stützstellen wird Gauß-Quadraturformel genannt, falls alle Polynome
p ∈ P 2n+1 exakt integriert werden, d.h. falls gilt:
∫ 1
−1
p(x) dx =
n∑
a k p(x k ) ∀p ∈ P 2n+1 .
k=0
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