Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Maximumsnorm. Weiter wählen wir als Index k = 1:
⎛ ⎞
⎛
5
i = 1 : ˜x (1) = Ax (0) ⎜ ⎟
= ⎝2⎠ , x (1) = ˜x(1) ⎜
0.714
⎞
⎟
‖˜x
7
(1) ≈ ⎝0.286⎠ ,
‖ ∞
1
⎛ ⎞
⎛
3.71
i = 2 : ˜x (2) = Ax (1) ⎜ ⎟
= ⎝0.857⎠ , x (2) = ˜x(2) ⎜
0.702
⎞
⎟
‖˜x
5.29
(2) ≈ ⎝0.162⎠ ,
‖ ∞
1
⎛ ⎞
⎛
3.57
i = 3 : ˜x (3) = Ax (2) ⎜ ⎟
= ⎝0.124⎠ , x (3) = ˜x(3) ⎜
0.710
⎞
⎟
‖˜x
1
(3) ≈ ⎝0.124⎠ ,
‖ ∞
1
⎛ ⎞
⎛
3.54
i = 4 : ˜x (4) = Ax (3) ⎜ ⎟
= ⎝0.538⎠ , x (4) = ˜x(4) ⎜
0.715
⎞
⎟
‖˜x
4.96
(4) ≈ ⎝0.108⎠ ,
‖ ∞
1
⎛ ⎞
⎛
3.54
i = 5 : ˜x (5) = Ax (4) ⎜ ⎟
= ⎝0.502⎠ , x (5) = ˜x(5) ⎜
0.717
⎞
⎟
‖˜x
4.93
(5) ≈ ⎝0.102⎠ ,
‖ ∞
1
⎛ ⎞
⎛ ⎞
3.54
0.719
i = 6 : ˜x (6) = Ax (5) ⎜ ⎟
= ⎝0.486⎠ , x (6) = ˜x(6) ⎜ ⎟
‖˜x
4.92
(6) ≈ ⎝0.0988⎠ ,
‖ ∞
1
λ (1) = ˜x(1) 1
x (0)
1
λ (2) = ˜x(2) 1
x (1)
1
λ (3) = ˜x(3) 1
x (2)
1
λ (4) = ˜x(4) 1
x (3)
1
λ (5) = ˜x(5) 1
x (4)
1
λ (6) = ˜x(6) 1
x (5)
1
≈ 5,
≈ 5.19,
≈ 5.077,
≈ 4.999,
≈ 4.950,
≈ 4.930.
Neben der Festlegung auf den betragsgrößten Eigenwert hat die Potenzmethode den Nachteil
sehr langsamer Konvergenz, falls die Eigenwerte nicht hinreichend separiert sind. Eine
einfache Erweiterung der Potenzmethode ist die Inverse Iteration nach Wieland zur Berechnung
des kleinsten Eigenwerts einer Matrix. Zur Herleitung verwenden wir die Tatsache,
dass zu einem Eigenwert λ einer regulären Matrix A ∈ R n×n durch λ −1 ein Eigenwert
der inversen Matrix A −1 ∈ R n×n gegeben ist:
Aw = λ(A)w ⇔ A −1 w = λ(A) −1 w =: λ(A −1 )w.
Die Potenzmethode, angewendet auf die inverse Matrix liefert den betragsgrößten Eigenwert
λ max (A −1 ) von A −1 . Der Kehrwert dieses Eigenwertes ist der betragskleinste
Eigenwert der Matrix A selbst λ min (A) = λ max (A −1 ) −1 . Dieses Prinzip kann weiter verallgemeinert
werden. Dazu sei λ(A) ein Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor w ∈ R n
von A und σ ∈ C eine beliebige komplexe Zahl (jedoch kein Eigenwert von A). Dann gilt:
(A − σI)w = (λ(A) − σ)w = λ(A − σI)w ⇔ [A − σI] −1 w = λ([A − σI] −1 )w.
Die Anwendung der Potenzmethode auf die Matrix [A − σI] −1 liefert nach vorangestellter
Überlegung den betragskleinsten Eigenwert der Matrix [A−σI], d.h. den Eigenwert von A,
der σ am nächsten liegt. Liegen nun Schätzungen für die Eigenwerte der Matrix A vor, so
können die genauen Werte mit der Inversen Iteration bestimmt werden. Die Gerschgorin-
Kreise liefern oft einen guten Anhaltspunkt für σ.
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