Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
Beweis: Es gilt
I (n) (f) =
n∑
i=0
α (n)
i f(x (n)
i ), α (n)
i > 0,
n∑
i=0
α (n)
i = 2.
Es sei ɛ > 0. Nach dem Approximationssatz von Weierstraß gibt es ein p ∈ P m (wobei m
hinreichend groß), so dass
max
−1≤x≤1 |f(x) − p(x)| ≤ ɛ 4 .
Für hinreichend großes 2n + 2 > m gilt I(p) − IG n (p) = 0. Damit folgern wir
|I(f) − I (n) (f)| ≤ |I(f − p)| + |I(p) − I (n) (p)| + |I (n) (p − f)| ≤ ɛ.
} {{ } } {{ } } {{ }
≤ ɛ 4 ·2
=0
≤ ɛ 4 ·2
Da ɛ > 0 beliebig gewählt worden ist, muss I (n) (f) → I(f) für n → ∞ konvergieren.
Schließlich beweisen wir noch ein optimales Resultat für den Fehler der Gauß-Quadratur:
Satz 3.63 (Fehlerabschätzung der Gauß-Quadratur). Es sei f ∈ C 2n+2 [a, b]. Dann lautet
die Restglieddarstellung zu einer Gaußquadraturformel der Ordnung 2n + 2 :
R (n) (f) = f (2n+2) (ξ)
(2n + 2)!
für ξ ∈ [a, b] und mit p n+1 = ∏ n
j=0 (x − λ j ).
∫ b
a
p 2 n+1(x) dx
Beweis: Der Beweis erfolgt unter Zuhilfenahme der Hermite-Interpolation (siehe Satz
3.16). Hiernach existiert ein Polynom h ∈ P 2n+1 zu einer zu interpolierenden Funktion
f ∈ C 2n+2 [−1, 1], welches die Hermitesche Interpolationsaufgabe löst, mit den Interpolationsbedingungen
h(λ i ) = f(λ i ), h ′ (λ i ) = f ′ (λ i ), i = 0, . . . , n.
Hierzu lautet die (bereits bekannte) Restglieddarstellung
n∏
f(x) − h(x) = f[λ 0 , λ 0 , . . . , λ n , λ n , x] (x − λ j ) 2 .
j=0
Wendet man nun die Gaußsche-Quadraturformel auf h(x) an, dann gilt zunächst I (n)
G (h) =
I(h), und weiter unter Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung
I(f) − I (n)
G
(f) = I(f − h) − I(n)
G
(f − h)
∫ 1
n∏
n∑
= f[λ 0 , λ 0 , . . . , λ n , λ n , x] (x − λ j ) 2 dx − a i [f(λ i ) − h(λ i )]
−1
j=0
i=0
= f (2n+2) ∫
(ξ) 1 n∏
(x − λ j ) 2 dx.
2n + 2)! −1
j=0
□
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