Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5 Numerische Iterationsverfahren
Definition 5.2 (Lipschitz-Stetigkeit, Kontraktion). Es sei G ⊂ R n eine nichtleere abgeschlossene
Menge. Eine Abbildung g : G → R n wird Lipschitz-stetig genannt, falls
‖g(x) − g(y)‖ ≤ q‖x − y‖, x, y ∈ G,
mit q > 0. Falls 0 < q < 1, so nennt man g eine Kontraktion auf G.
Zur Rekapitulation:
Bemerkung 5.3. Differenzierbarkeit ⇒ absolute Stetigkeit ⇒ Lipschitz-Stetigkeit ⇒
gleichmäßige Stetigkeit ⇒ Stetigkeit.
Zum Beispiel ist die Wurzelfunktion f(x) = √ x auf [0, 1] zwar gleichmäßig stetig aber
nicht Lipschitz-stetig.
Der Banachsche Fixpunktsatz besagt nun, dass jede Selbstabbildung g : G → G, welche
eine Kontraktion ist, einen Fixpunkt besitzt:
Satz 5.4 (Banach’scher Fixpunktsatz). Es sei G ⊂ R n eine nichtleere und abgeschlossene
Punktmenge und g : G → G eine Lipschitz-stetige Selbstabbildung, mit Lipschitz-Konstante
q < 1 (also eine Kontraktion).
• Dann existiert genau ein Fixpunkt z ∈ G von g und die Iterationsfolge (x k ) k konvergiert
für jeden Startpunkt x 0 ∈ G, so dass x k → z für k → ∞.
• Es gilt die a priori Abschätzung:
‖x k − z‖ ≤
• Es gilt die a posteriori Abschätzung:
‖x k − z‖ ≤
qk
1 − q ‖x1 − x 0 ‖.
q
1 − q ‖xk − x k−1 ‖.
Beweis:
(i) Existenz eines Grenzwertes. Da g eine Selbstabbildung in G ist, sind alle Iterierten
x k = g(x k−1 ) = . . . = g k (x 0 ) bei Wahl eines beliebigen Startpunkts x 0 ∈ G definiert.
Aufgrund der Kontraktionseigenschaft gilt:
‖x k+1 − x k ‖ = ‖g(x k ) − g(x k−1 )‖ ≤ q‖x k − x k−1 ‖ ≤ . . . ≤ q k ‖x 1 − x 0 ‖.
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