Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

1 Einleitung
erster Ordnung und fassen alle weiteren Terme mit den Landau-Symbolen (für kleine ɛ)
zusammen:
a 1 =x(1 + ɛ x )z(1 + ɛ z )(1 + ɛ 1 ) = xz(1 + ɛ x + ɛ z + ɛ 1 + O(eps 2 ))
= xz(1 + 3ɛ 1 + O(eps 2 )),
a 2 =y(1 + ɛ y )z(1 + ɛ z )(1 + ɛ 2 ) = yz(1 + ɛ y + ɛ z + ɛ 2 + O(eps 2 ))
= yz(1 + 3ɛ 2 + O(eps 2 )),
a 3 =(xz(1 + 3ɛ 1 ) − yz(1 + 3ɛ 2 ) + O(eps 2 ))(1 + ɛ 3 )
= (xz − yz)(1 + ɛ 3 ) + 3xzɛ 1 − 3yzɛ 2 + O(eps 2 )
Wir bestimmen den relativen Fehler:
a 3 − (xz − yz)
∣ xz − yz ∣ = |(xz − yz)ɛ 3 − 3xzɛ 1 + 3yzɛ 2 |
|xz − yz|
|x| + |y|
≤ eps + 3
|x − y| eps.
Die Fehlerverstärkung dieses Algorithmus kann für x ≈ y groß werden und entspricht etwa
(Faktor 3) der Konditionierung der Aufgabe. Wir nennen den Algorithmus daher stabil.
Wir betrachten nun Algorithmus 2:
a 1 =(x(1 + ɛ x ) − y(1 + ɛ y ))(1 + ɛ 1 )
= (x − y)(1 + ɛ 1 ) + xɛ x − yɛ y + O(eps 2 )
a 2 =z(1 + ɛ z ) ( (x − y)(1 + ɛ 1 ) + xɛ x − yɛ y + O(eps 2 ) ) (1 + ɛ 2 )
= z(x − y)(1 + ɛ 1 + ɛ 2 + ɛ z + O(eps) 2 ) + zxɛ x − zyɛ y + O(eps 2 ).
Für den relativen Fehler gilt in erster Ordnung:
a 2 − (xz − yz)
∣ xz − yz ∣ = |z(x − y)(ɛ 1 + ɛ 2 + ɛ z ) + zxɛ x − zyɛ y |
|xz − yz|
≤ 3eps +
|x| + |y|
|x − y| eps
Die Fehlerverstärkung kann für x ≈ y wieder groß werden. Der Verstärkungsfaktor ist
jedoch geringer als bei Algorithmus 1. Insbesondere fällt auf, dass dieser zweite Algorithmus
bei Fehlerfreien Eingabedaten keine Fehlerverstärkung aufweist. (Das ist der Fall ɛ x = ɛ y =
ɛ z = 0).
Beide Algorithmen sind stabil, der zweite hat bessere Stabilitätseigenschaften als der erste.
Wir nennen zwei Algorithmen stabil, obwohl der eine wesentlich bessere Stabilitätseigenschaften
hat. Der Stabilitätsbegriff dient daher oft zum relativen Vergleich verschiedener
Algorithmen. Wir definieren
Definition 1.19 (Stabilität). Ein numerischer Algorithmus zum Lösen einer Aufgabe
heißt stabil, falls die bei der Durchführung akkumulierten Rundungsfehler den durch die
Kondition der Aufgabe gegebenen unvermeidlichen Fehler nicht übersteigen.
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