Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Beispiel 4.81 (Inverse Iteration nach Wieland). Es sei:
mit den Eigenwerten:
⎛
⎞
2 −0.1 0.4
⎜
⎟
A = ⎝0.3 −1 0.4⎠
0.2 −0.1 4
λ 1 ≈ −0.983, λ 2 = 1.954, λ 3 = 4.029.
Wir wollen alle Eigenwerte mit der inversen Iteration bestimmen. Startwerte erhalten wir
durch Analyse der Gerschgorin-Kreise:
K 1 = K 0.5 (2), K 2 = K 0.2 (−1), K 3 := K 0.3 (4).
Die drei Kreise sind disjunkt und wir wählen als Shift in der Inversen Iteration σ 1 = 2,
σ 2 = −1 sowie σ 3 = 4. Die Iteration wird stets mit v = (1, 1, 1) T und Normierung bezüglich
der Maximumsnorm gestartet. Wir erhalten die Näherungen:
σ 1 = 2 : µ (1)
1 = −16.571, µ (2)
1 = −21.744, µ (3)
1 = −21.619, µ (4)
1 = −21.622,
σ 2 = −1 : µ (1)
2 = 1.840, µ (2)
2 = 49.743, µ (3)
2 = 59.360, µ (4)
2 = 59.422,
σ 3 = 4 : µ (1)
3 = 6.533, µ (2)
3 = 36.004, µ (3)
3 = 33.962, µ (4)
3 = 33.990.
Diese Approximationen ergeben die folgenden Eigenwert-Näherungen:
λ 1 = σ 1 + 1/µ (4)
1 ≈ 1.954, λ 2 = σ 2 + 1/µ (4)
2 ≈ −0.983, λ 3 = σ 3 + 1/µ (4)
3 ≈ 4.029.
Alle drei Näherungen sind in den ersten wesentlichen Stellen exakt.
Das Beispiel demonstriert, dass die inverse Iteration mit Shift zu einer wesentlichen Beschleunigung
der Konvergenz führt, falls gute Schätzungen der Eigenwerte vorliegen.
4.6.4 Das QR-Verfahren zur Eigenwertberechnung
Wir haben bereits die QR-Zerlegung einer Matrix A in eine orthogonale Matrix Q ∈ R n×n
sowie eine rechte obere Dreiecksmatrix R ∈ R n×n kennengelernt. Das QR-Verfahren zur
Berechnung der Eigenwerte von A beruht auf der folgenden Beobachtung:
A = QR = QR(QQ T ) = Q(RQ)Q T , (4.13)
d.h., die Matrix A ist orthogonal ähnlich zur Matrix RQ, hat also die gleichen Eigenwerte
wie diese. Wir definieren:
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