Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
In der linearen Algebra wird die Struktur von linearen Abbildungen T : V → W zwischen
endlich-dimensionalen Vektorräumen untersucht. In der numerischen linearen Algebra befassen
wir uns mit einigen praktischen Fragestellungen der linearen Algebra. Schwerpunkt
der Anwendung ist das Lösen von linearen Gleichungen, also das Auffinden von x ∈ V , so
dass für ein b ∈ W gilt T (x) = b. Weiter werden wir Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten
linearer Abbildungen sowie zur Orthogonalisierung von Vektoren kennenlernen.
Die meisten Probleme der linearen Algebra treten als Teilprobleme anderer Verfahren auf.
Große lineare Gleichungssysteme müssen zur Diskretisierung von Differentialgleichungen,
aber z.B. auch bei der Approximation von Funktionen gelöst werden. Effiziente numerische
Quadraturregeln benötigen zur Konstruktion die Nullstellen orthogonaler Polynome.
Orthogonalisierungsverfahren spielen aber auch eine Rolle bei der Lösung von großen Gleichungssystemen.
4.1 Grundlagen der linearen Algebra
Wir sammeln zunächst einige Definitionen und grundlegende Resultate. Es sei V stets ein
Vektorraum über dem Körper K. Üblicherweise betrachten wir den Raum der reellwertigen
Vektoren V = R n .
Definition 4.1 (Basis). Eine Teilmenge B ⊂ V eines Vektorraums über K heißt Basis,
falls sich jedes Element v ∈ V eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren B =
{v 1 , . . . , v n } darstellen lässt:
n∑
v = α i v i , α i ∈ K.
i=1
Die eindeutige Darstellbarkeit jedes v ∈ V durch Basisvektoren erlaubt es, den Vektorraum
V mit dem Vektorraum der Koeffizientenvektoren α ∈ K n zu identifizieren. Daher können
wir uns in diesem Abschnitt im wesentlichen auf diesen Raum (bzw. auf R n ) beschränken.
Alle Eigenschaften und Resultate übertragen sich auf V .
Definition 4.2 (Norm). Eine Abbildung ‖·‖ : V → R + heißt Norm, falls sie die folgenden
drei Eigenschaften besitzt:
1. Definitheit: ‖x‖ ≥ 0, ‖x‖ = 0 ⇒ x = 0,
2. Linearität: ‖αx‖ = |α| ‖x‖ ∀x ∈ V, α ∈ K,
3. Dreiecksungleichung: ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖, ∀x, y ∈ V.
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