Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.5 Numerische Integration
Bemerkung 3.76. Anstatt der Romberg-Folge h k = 2 −k h kann auch mit der Burlisch-
Folge
⎧
⎨h · 2 − k 2 k gerade
h k =
k−1
⎩ h2− 2 k ungerade
3
gearbeitet werden, da diese wesentlich weniger Funktionsauswertungen benötigt. Bei h = 1
sind die ersten Folgenglieder gegeben durch:
1
2 , 1 3 , 1 4 , 1 6 , 1 8 , 1
12 , . . . ,
Integration periodischer Funktionen
Im Falle periodischer Funktionen, d.h. es sei f 2m+2 (−∞, ∞) mit dem Periodenintervall
[a, b] und
f (2k−1) (a) = f (2k−1) (b), k = 1, 2, . . .
kann die Euler-Maclaurinsche Summenformel entscheidend vereinfacht werden. Aus
I(f) − I h (f) =
m∑
k=1
h 2k B (
)
2k
f (2k−1) (b) − f (2k−1) (a) + h 2m+2 b − a
(2k)!
(2m − 2)! B 2m+2f (2m+2) (ξ),
mit
folgt dann
⎛
⎞
I h (f) = h ⎝ 1 N−1
2 f(a) + ∑
f(x j ) + 1 2 f(b) ⎠ ,
j=1
x j := a + jh,
mit
I(f) − I h (f) = h 2m+2 b − a
(2m − 2)! B 2m+2f (2m+2) (ξ) = O(h 2m+2 ),
⎛
⎞ ⎛
I h (f) = h ⎝ 1 N−1
2 f(a) + ∑
f(x j ) + 1 2 f(b) ⎠ = h ⎝f(a) +
j=1
N−1 ∑
j=1
⎞ ⎛ ⎞
N−1 ∑
f(x j ) ⎠ = h ⎝ f(x j ) ⎠
mit x j := a + jh. Die summierte Trapezregel vereinfacht sich dadurch zur summierten
linksseitigen Boxregel.
Falls f ∈ C ∞ (−∞, ∞), dann konvergiert die summierte Trapezregel (d.h. bei [a, b]-periodischen
Funktionen, die summierte Boxregel) schneller gegen den Integralwert, für h → 0, als jede
andere Quadraturregel.
j=0
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