Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.6 Berechnung von Eigenwerten
Die letzte Abschätzung nutzt die Reihenentwicklung:
1 + x n+1
1 + x n = 1 + O(|x|n ).
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Die Potenzmethode ist eine sehr einfache und numerisch stabile Iteration. Sie kann allerdings
nur den betragsmäßig größten Eigenwert ermitteln. Der Konvergenzbeweis kann
verallgemeinert werden auf Matrizen, deren größter Eigenwert mehrfach vorkommt. Konvergenz
gilt jedoch nur dann, wenn aus |λ n | = |λ i | auch λ n = λ i folgt. Es darf also nicht
zwei verschiedene Eigenwerte geben, die beide den gleichen, größten Betrag annehmen.
Dies schließt zum Beispiel den Fall zweier komplex konjugierter Eigenwerten λ und ¯λ als
beträgsgrößte aus.
Bemerkung 4.78 (Potenzmethode bei symmetrischen Matrizen). Die Potenzmethode
kann im Fall symmetrischer Matrizen durch Verwenden des Rayleigh-Quotienten verbessert
werden. Die Iteration
liefert die Fehlerabschätzung:
λ (i) = (Ax(i−1) , x (i−1) ) 2
(x (i−1) , x (i−1) ) 2
= (˜x (i) , x (i−1) ) 2 ,
λ (i) = λ n + O
( ∣∣∣∣
λ n−1
λ n
∣ ∣∣∣ 2i ) .
Beispiel 4.79 (Potenzmethode nach von Mises). Es sei:
⎛ ⎞
2 1 2
⎜ ⎟
A = ⎝−1 2 1⎠ ,
1 2 4
mit den Eigenwerten:
λ 1 ≈ 0.80131, λ 2 = 2.2865, λ 3 = 4.9122.
Wir starten die Potenzmethode mit x (0)
= (1, 1, 1) T , und wählen zur Normierung die
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