Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Im k-ten Schritt wird die Approximation x k = x 0 + ∑ k
i=1 α i d i als das Minimum über alle
α 1 , . . . , α k bezüglich Q(x k ) gesucht:
(
) { (
) (
)}
k∑
1
k∑
k∑
k∑
min Q x 0 + α i d i = min Ax 0 + α i Ad i , x 0 + α i d i − b, x 0 + α i d i .
2
i=1
i=1
i=1
i=1
Der stationäre Punkt ist bestimmt durch:
0 = ! ∂
(
Q(x k ) = Ax 0 +
∂α j
k∑
i=1
)
(
α i Ad i , d j − (b, d j ) = − b − Ax k , d j) , j = 1, . . . , k.
D.h., das neue Residuum b − Ax k steht orthogonal auf allen Suchrichtungen d j für j =
1, . . . , k. Diese Gleichung
(b − Ax k , d j ) = 0 ∀j = 1, . . . , k, (5.17)
wird Galerkin-Gleichung genannt. Beim Entwurf des CG-Verfahrens ist es nun wichtig,
dass die neu gewählte Suchrichtung d k+1 nicht im Erzeugnis der bisherigen Suchrichtungen
span{d 1 , . . . , d k } enthalten ist. Denn in diesem Fall wird der Suchraum nicht größer und
die Approximation kann nicht verbessert werden. Daher wählt man für das CG-Verfahren
ausgehend von einer Startapproximation x 0 ∈ R n mit d 0 := b − Ax 0 den Krylow-Raum
K k (d 0 , A):
K k (d 0 , A) := span{d 0 , Ad 0 , . . . , A k−1 d 0 }.
Es gilt:
Hilfsatz 5.43. Angenommen es gilt A k d 0 ∈ K k . Dann liegt auch für die Lösung x ∈ R n
von Ax = b im k-ten Krylow-Raum K k (d 0 , A).
Beweis: Es sei K k gegeben und x k ∈ x 0 + K k die beste Approximation, welche die
Galerkin-Gleichung (5.17) erfüllt. Es sei r k := b − Ax t . Wegen
r k = b − Ax k = b − Ax
} {{ 0 +A (x
}
0 − x k ) ∈ d 0 + AK k ,
} {{ }
=d 0 ∈K k
gilt r k ∈ K k+1 . Angenommen nun, K k+1 ⊂ K k . Dann gilt r k ∈ K k . Die Galerkin-Gleichung
besagt r k ⊥ K k , d.h. es gilt zwingend r k = 0 und Ax k = b.
□
Falls das CG-Verfahren abbricht weil keine neuen Suchrichtungen hinzukommen, so ist
die Lösung gefunden. Angenommen, die A-orthogonalen Suchrichtungen {d 0 , d 1 , . . . , d k−1 }
liegen vor, so kann die CG-Approximation durch Ausnutzen der Basisdarstellung x k =
x 0 + ∑ α i d i aus der Galerkin-Gleichung berechnet werden:
(
)
k∑
b − Ax 0 − α i Ad i , d j
i=1
= 0 ⇒ (b − Ax 0 , d j ) = α j (Ad j , d j ) ⇒ α j = (d0 , d j )
(Ad j , d j ) .
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