Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
Es gilt aus Symmetriegründen:
∫ 1
−1
˜L 0 (x) f(x) dx =
∫ 1
−1
˜L 2 (x) f(x) dx = 0,
sowie
∫ √ 1
∫ √
6
1
14(π
˜L 1 (x) f(x) dx =
−1
π , ˜L 2 − 15)
3 (x) f(x) dx =
−1
π 3 .
Hieraus erhalten wir die Gauß-Approximation
√ √
6
p G (x) =
π ˜L 14(π 2 − 15)
1 (x) +
π 3
˜L3 (x)
Für die beiden Approximationen gilt:
= 5x(7π2 x 2 − 105x 2 − 3π 2 + 63)
2π 3 .
‖f − p L ‖ L 2 ([−1,1]) ≈ 0.2, ‖f − p G ‖ L 2 ([−1,1]) ≈ 0.1,
d.h., die Gauß-Approximation liefert in der L 2 -Norm ein doppelt so gutes Ergebnis. In
Abbildung 3.10 zeigen wir beide Approximationen, die Funktion f(x) sowie die Fehler
f(x)−p l (x) sowie f(x)−p g (x). Hier sehen wir zunächst, dass die Lagrange-Interpolation an
den Stützstellen die Interpolationsbedingung, also f(x i ) = p L (x i ) = 0 erfüllt, wo hingegen
die Gauss-Approximation gerade am Rand einen großen Fehler aufweist. Der maximale
Fehler im Intervall ist hingegen bei der Gauß-Approximation etwas geringer.
Diskrete Gauß-Approximation
Gegeben sei nun eine Messreihe (x i , y i ), i = 1, 2, . . . , m. Wir suchen eine approximierende
Funktion p ∈ S, wobei üblicherweise wieder S = P n ein einfacher Polynomraum ist. Wir
suchen die beste Approximation p ∈ S bezüglich der euklidischen Norm:
( m
) 1
∑
|p − y| 2 := |p(x i ) − y i | 2 2
i=1
= min
φ∈S |φ − y| 2.
Im Gegensatz zur Lagrangeschen Interpolationsaufgabe fordern wir in den Stützstellen x i
nicht p(x i ) = y i . Die Diskrete Gauß-Approximation wird üblicherweise zur Approximation
von diskreten Messwerten verwendet. Dann gilt meist m ≫ n, wenn zum Beispiel eine
lineare Funktion p(x) = α 0 +α 1 x gesucht wird, die viele (tausend) Messwerte approximiert.
Die euklidische Vektornorm ist aus dem euklidischen Skalarprodukt abgeleitet:
|x| 2 = (x, x) 1 2
2 ,
daher kann die bisher entwickelte Theorie unmittelbar angewendet werden. Schlüssel zur
Bestimmung der Bestapproximation ist wieder gemäß Satz 3.78 die Charakterisierung über
die Orthogonalität:
|p − y| 2 = min
φ∈S |φ − y| 2 ⇔ (p − y, φ) 2 = 0 ∀φ ∈ R n .
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