Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5 Numerische Iterationsverfahren
Gedämpftes Newton-Verfahren Die Vergrößerung des Konvergenzbereiches (Globalisierung)
kann mit Hilfe eines Dämpfungsparameters erreicht werden. Hierzu wird die Newton-
Iteration abgewandelt:
x k+1 = x k − ω k f ′ (x k ) −1 f(x k ).
Der Dämpfungsparameter ω k ist dabei im Intervall (0, 1] zu wählen. Dieser wird am Anfang
klein gewählt, um das Konvergenzgebiet zu vergrößern. Allerdings konvergiert das Verfahren
dann nur mit linearer Ordnung. Quadratische Konvergenz wird nur dann erreicht, falls
für k → ∞ auch ω k → 1 gilt. Der folgenden Satz gibt ein konstruktives Kriterium, den
Dämpfungsparameter ω k a posteriori bestimmen zu können.
Satz 5.17 (Gedämpftes Newton-Verfahren). Unter den Voraussetzungen von Satz 5.12
erzeugt die gedämpfte Newton-Iteration (siehe 2.4.4) mit
ω k := min{1,
1
α k βγ },
α k := ‖f ′ (x k ) −1 f(x k )‖
eine Folge (x k ) k∈N , für die nach t ∗ Schritten
q ∗ := α k∗ βγ < 1 2
erfüllt ist. Ab dann konvergiert x k quadratisch und es gilt die a priori Fehlerabschätzung
‖x k − z‖ ≤
α
1 − q ∗
q 2k −1
∗ , k ≥ k ∗ .
Beweis: In [9].
□
In der praktischen Anwendung wird der Dämpfungsparameter oft über die sogenannte
Line-Search-Strategie bestimmt:
Algorithmus 5.18 (Newton-Verfahren mit Line-Search). Gegeben sei ein Startwert x 0 ∈
R n sowie σ ∈ (0, 1). Iteriere für k = 0, 1, . . .
(i) Löse f ′ (x k )w k = −f(x k )
(ii) Starte mit ω 0 = 1 und iteriere für l = 0, 1, . . .
solange bis |f(x k+1 )| < |f(x k )|.
x k+1 = x k + ω l w k , ω l+1 = σω l ,
Der Line-Search Algorithmus versucht zunächst ohne Dämpfung zu iterieren. Besitzt die
neue Approximation allerdings ein größeres Residuum |f(x k+1 )| > |f(x k )|, so wird der
Dämpfungsparameter schrittweise reduziert. Auf diese Weise wird monotone Konvergenz
im Residuum erzwungen.
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